Основы мат. анализа Примеры

$2 x^{3} - 5 x^{2} - x + 6$

Этап 1

Разложим $2 x^{3} - 5 x^{2} - x + 6$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 6, \pm 3, \pm 2, \pm 1.5$

Этап 1.3

Подставим $- 1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $- 1$ в многочлен.

$2 {(- 1)}^{3} - 5 {(- 1)}^{2} + 1 + 6$

Этап 1.3.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$2 \cdot - 1 - 5 {(- 1)}^{2} + 1 + 6$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 - 5 {(- 1)}^{2} + 1 + 6$

Этап 1.3.4

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 2 - 5 \cdot 1 + 1 + 6$

Этап 1.3.5

Умножим $- 5$ на $1$ .

$- 2 - 5 + 1 + 6$

Этап 1.3.6

Вычтем $5$ из $- 2$ .

$- 7 + 1 + 6$

Этап 1.3.7

Добавим $- 7$ и $1$ .

$- 6 + 6$

Этап 1.3.8

Добавим $- 6$ и $6$ .

$0$

Этап 1.4

Поскольку $- 1$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{3} - 5 x^{2} - x + 6}{x + 1}$

Этап 1.5

Разделим $2 x^{3} - 5 x^{2} - x + 6$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$6$

Этап 1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$x$	+	$6$

Этап 1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			+	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$

Этап 1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	-	$x$

Этап 1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 7 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$7 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	-	$x$

Этап 1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	-	$7 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	-	$x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$

Этап 1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 7 x^{2} - 7 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$7 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	-	$x$
					+	$7 x^{2}$	+	$7 x$

Этап 1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	-	$7 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	-	$x$
					+	$7 x^{2}$	+	$7 x$
							+	$6 x$

Этап 1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$	-	$7 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	-	$x$
					+	$7 x^{2}$	+	$7 x$
							+	$6 x$	+	$6$

Этап 1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $6 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	-	$x$
					+	$7 x^{2}$	+	$7 x$
							+	$6 x$	+	$6$

Этап 1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	-	$x$
					+	$7 x^{2}$	+	$7 x$
							+	$6 x$	+	$6$
							+	$6 x$	+	$6$

Этап 1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $6 x + 6$ .

				$2 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	-	$x$
					+	$7 x^{2}$	+	$7 x$
							+	$6 x$	+	$6$
							-	$6 x$	-	$6$

Этап 1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	-	$x$
					+	$7 x^{2}$	+	$7 x$
							+	$6 x$	+	$6$
							-	$6 x$	-	$6$
										$0$

Этап 1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$2 x^{2} - 7 x + 6$

Этап 1.6

Запишем $2 x^{3} - 5 x^{2} - x + 6$ в виде набора множителей.

$(x + 1) (2 x^{2} - 7 x + 6)$

Этап 2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 6 = 12$ , а сумма — $b = - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $- 7$ из $- 7 x$ .

$(x + 1) (2 x^{2} - 7 (x) + 6)$

Этап 2.1.1.2

Запишем $- 7$ как $- 3$ плюс $- 4$

$(x + 1) (2 x^{2} + (- 3 - 4) x + 6)$

Этап 2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 1) (2 x^{2} - 3 x - 4 x + 6)$

Этап 2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x + 1) ((2 x^{2} - 3 x) - 4 x + 6)$

Этап 2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x + 1) (x (2 x - 3) - 2 (2 x - 3))$

Этап 2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 3$ .

$(x + 1) ((2 x - 3) (x - 2))$

Этап 2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 1) (2 x - 3) (x - 2)$