Основы мат. анализа Примеры

${(a^{2} + 4 a)}^{2} - (a^{2} + 4 a) - 20$

Этап 1

Пусть $u = a^{2} + 4 a$ . Подставим $u$ вместо $a^{2} + 4 a$ для всех.

$u^{2} - u - 20$

Этап 2

Разложим $u^{2} - u - 20$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 20$ , а сумма — $- 1$ .

$- 5, 4$

Этап 2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 5) (u + 4)$

Этап 3

Заменим все вхождения $u$ на $a^{2} + 4 a$ .

$(a^{2} + 4 a - 5) (a^{2} + 4 a + 4)$

Этап 4

Разложим $a^{2} + 4 a - 5$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 5$ , а сумма — $4$ .

$- 1, 5$

Этап 4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(a - 1) (a + 5) (a^{2} + 4 a + 4)$

Этап 5

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$(a - 1) (a + 5) (a^{2} + 4 a + 2^{2})$

Этап 5.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 a = 2 \cdot a \cdot 2$

Этап 5.3

Перепишем многочлен.

$(a - 1) (a + 5) (a^{2} + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^{2})$

Этап 5.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = a$ и $b = 2$ .

$(a - 1) (a + 5) {(a + 2)}^{2}$