Основы мат. анализа Примеры

$x - 12 \sqrt{x} + 36 = 0$

Этап 1

Перенесем все члены без $- 12 \sqrt{x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$- 12 \sqrt{x} + 36 = - x$

Этап 1.2

Вычтем $36$ из обеих частей уравнения.

$- 12 \sqrt{x} = - x - 36$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(- 12 \sqrt{x})}^{2} = {(- x - 36)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 12 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 36)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${(- 12 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило умножения к $- 12 x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 12)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 36)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Возведем $- 12$ в степень $2$ .

$144 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 36)}^{2}$

Этап 3.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$144 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x - 36)}^{2}$

Этап 3.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$144 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x - 36)}^{2}$

Этап 3.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$144 x^{1} = {(- x - 36)}^{2}$

Этап 3.2.1.4

Упростим.

$144 x = {(- x - 36)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(- x - 36)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(- x - 36)}^{2}$ в виде $(- x - 36) (- x - 36)$ .

$144 x = (- x - 36) (- x - 36)$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(- x - 36) (- x - 36)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$144 x = - x (- x - 36) - 36 (- x - 36)$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$144 x = - x (- x) - x \cdot - 36 - 36 (- x - 36)$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$144 x = - x (- x) - x \cdot - 36 - 36 (- x) - 36 \cdot - 36$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$144 x = - 1 \cdot - 1 x \cdot x - x \cdot - 36 - 36 (- x) - 36 \cdot - 36$

Этап 3.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$144 x = - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x \cdot - 36 - 36 (- x) - 36 \cdot - 36$

Этап 3.3.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$144 x = - 1 \cdot - 1 x^{2} - x \cdot - 36 - 36 (- x) - 36 \cdot - 36$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$144 x = 1 x^{2} - x \cdot - 36 - 36 (- x) - 36 \cdot - 36$

Этап 3.3.1.3.1.4

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$144 x = x^{2} - x \cdot - 36 - 36 (- x) - 36 \cdot - 36$

Этап 3.3.1.3.1.5

Умножим $- 36$ на $- 1$ .

$144 x = x^{2} + 36 x - 36 (- x) - 36 \cdot - 36$

Этап 3.3.1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 36$ .

$144 x = x^{2} + 36 x + 36 x - 36 \cdot - 36$

Этап 3.3.1.3.1.7

Умножим $- 36$ на $- 36$ .

$144 x = x^{2} + 36 x + 36 x + 1296$

Этап 3.3.1.3.2

Добавим $36 x$ и $36 x$ .

$144 x = x^{2} + 72 x + 1296$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} + 72 x + 1296 = 144 x$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $144 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 72 x + 1296 - 144 x = 0$

Этап 4.2.2

Вычтем $144 x$ из $72 x$ .

$x^{2} - 72 x + 1296 = 0$

Этап 4.3

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перепишем $1296$ в виде $36^{2}$ .

$x^{2} - 72 x + 36^{2} = 0$

Этап 4.3.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$72 x = 2 \cdot x \cdot 36$

Этап 4.3.3

Перепишем многочлен.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 36 + 36^{2} = 0$

Этап 4.3.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 36$ .

${(x - 36)}^{2} = 0$

Этап 4.4

Приравняем $x - 36$ к $0$ .

$x - 36 = 0$

Этап 4.5

Добавим $36$ к обеим частям уравнения.

$x = 36$