Основы мат. анализа Примеры

$\sin (x) + \sqrt{2} = - \sin (x)$

Этап 1

Перенесем все члены с $\sin (x)$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $\sin (x)$ к обеим частям уравнения.

$\sin (x) + \sqrt{2} + \sin (x) = 0$

Этап 1.2

Добавим $\sin (x)$ и $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) + \sqrt{2} = 0$

Этап 2

Вычтем $\sqrt{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 \sin (x) = - \sqrt{2}$

Этап 3

Разделим каждый член $2 \sin (x) = - \sqrt{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $2 \sin (x) = - \sqrt{2}$ на $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 4

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Точное значение $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ : $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Этап 6

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Этап 7

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Этап 7.2

Результирующий угол $\frac{5 π}{4}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{4} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{5 π}{4}$

Этап 8

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 8.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 8.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 8.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 9

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{4}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Этап 9.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 9.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 9.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 9.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Этап 9.4.2

Вычтем $π$ из $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Этап 9.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{7 π}{4}$

Этап 10

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$