Основы мат. анализа Примеры

$\sin (\frac{x}{3}) = \frac{1}{2}$

Этап 1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$\frac{x}{3} = \arcsin (\frac{1}{2})$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $\arcsin (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{6}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{π}{6}$

Этап 3

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{π}{6}$

Этап 4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{π}{6}$

Этап 4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 3 \frac{π}{6}$

Этап 4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$x = 3 \frac{π}{3 (2)}$

Этап 4.2.1.2

Сократим общий множитель.

$x = 3 \frac{π}{3 \cdot 2}$

Этап 4.2.1.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{π}{2}$

Этап 5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$\frac{x}{3} = π - \frac{π}{6}$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 (π - \frac{π}{6})$

Этап 6.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{x}{3} = 3 (π - \frac{π}{6})$

Этап 6.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 3 (π - \frac{π}{6})$

Этап 6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим $3 (π - \frac{π}{6})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$x = 3 (π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6})$

Этап 6.2.2.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.1

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$x = 3 (\frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6})$

Этап 6.2.2.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = 3 \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 6.2.2.1.2.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$x = 3 \frac{π \cdot 6 - π}{3 (2)}$

Этап 6.2.2.1.2.3.2

Сократим общий множитель.

$x = 3 \frac{π \cdot 6 - π}{3 \cdot 2}$

Этап 6.2.2.1.2.3.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{2}$

Этап 6.2.2.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.3.1

Перенесем $6$ влево от $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{2}$

Этап 6.2.2.1.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{2}$

Этап 7

Найдем период $\sin (\frac{x}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{3}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{3} |}$

Этап 7.3

$\frac{1}{3}$ приблизительно равно $0.\overline{3}$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

Этап 7.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \cdot 3$

Этап 7.5

Умножим $3$ на $2$ .

$6 π$

Этап 8

Период функции $\sin (\frac{x}{3})$ равен $6 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $6 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 6 π n, \frac{5 π}{2} + 6 π n$ , для любого целого $n$