Основы мат. анализа Примеры

$\tan (\frac{x}{2}) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$\frac{x}{2} = \arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $\arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ : $- \frac{π}{6}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{6}$

Этап 3

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{6})$

Этап 4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{6})$

Этап 4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 (- \frac{π}{6})$

Этап 4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $2 (- \frac{π}{6})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{6}$ в числитель.

$x = 2 \frac{- π}{6}$

Этап 4.2.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$x = 2 \frac{- π}{2 (3)}$

Этап 4.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$x = 2 \frac{- π}{2 \cdot 3}$

Этап 4.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$x = \frac{- π}{3}$

Этап 4.2.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{π}{3}$

Этап 5

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{6} - π$

Этап 6

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{6} - π$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{6} - π + 2 π$

Этап 6.2

Результирующий угол $\frac{5 π}{6}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{6} - π$ на полный оборот.

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{6}$

Этап 6.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{6}$

Этап 6.3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{6}$

Этап 6.3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 \frac{5 π}{6}$

Этап 6.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$x = 2 \frac{5 π}{2 (3)}$

Этап 6.3.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$x = 2 \frac{5 π}{2 \cdot 3}$

Этап 6.3.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{5 π}{3}$

Этап 7

Найдем период $\tan (\frac{x}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 7.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{2}$ в формуле периода.

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

Этап 7.3

$\frac{1}{2}$ приблизительно равно $0.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Этап 7.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$π \cdot 2$

Этап 7.5

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$2 π$

Этап 8

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{3}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Этап 8.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 8.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 8.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 8.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Этап 8.4.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Этап 8.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{5 π}{3}$

Этап 9

Период функции $\tan (\frac{x}{2})$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{5 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 10

Объединим ответы.

$x = \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$