Основы мат. анализа Примеры

$\tan (2 x) = - 1$

Этап 1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$2 x = \arctan (- 1)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $\arctan (- 1)$ : $- \frac{π}{4}$ .

$2 x = - \frac{π}{4}$

Этап 3

Разделим каждый член $2 x = - \frac{π}{4}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $2 x = - \frac{π}{4}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Этап 3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = - \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 3.3.2

Умножим $- \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 4}$

Этап 3.3.2.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = - \frac{π}{8}$

Этап 4

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$2 x = - \frac{π}{4} - π$

Этап 5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{4} - π$ .

$2 x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Этап 5.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{4}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{4} - π$ на полный оборот.

$2 x = \frac{3 π}{4}$

Этап 5.3

Разделим каждый член $2 x = \frac{3 π}{4}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{3 π}{4}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 5.3.3.2

Умножим $\frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Умножим $\frac{3 π}{4}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{4 \cdot 2}$

Этап 5.3.3.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$x = \frac{3 π}{8}$

Этап 6

Найдем период $\tan (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 6.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 2 |}$

Этап 6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{π}{2}$

Этап 7

Добавим $\frac{π}{2}$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Добавим $\frac{π}{2}$ к $- \frac{π}{8}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{8} + \frac{π}{2}$

Этап 7.2

Чтобы записать $\frac{π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{8}$

Этап 7.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $8$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{2 \cdot 4} - \frac{π}{8}$

Этап 7.3.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{π \cdot 4}{8} - \frac{π}{8}$

Этап 7.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 4 - π}{8}$

Этап 7.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{8}$

Этап 7.5.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{8}$

Этап 7.6

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{8}$

Этап 8

Период функции $\tan (2 x)$ равен $\frac{π}{2}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{π}{2}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}, \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 9

Объединим ответы.

$x = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$