Основы мат. анализа Примеры

$\tan (x) = 5 \sin (x)$

Этап 1

Разделим каждый член $\tan (x) = 5 \sin (x)$ на $\tan (x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $\tan (x) = 5 \sin (x)$ на $\tan (x)$ .

$\frac{\tan (x)}{\tan (x)} = \frac{5 \sin (x)}{\tan (x)}$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\tan (x)}{\tan (x)} = \frac{5 \sin (x)}{\tan (x)}$

Этап 1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{5 \sin (x)}{\tan (x)}$

Этап 1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Разделим дроби.

$1 = \frac{5}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\tan (x)}$

Этап 1.3.2

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$1 = \frac{5}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 1.3.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$1 = \frac{5}{1} (\sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Этап 1.3.4

Запишем $\sin (x)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$1 = \frac{5}{1} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Этап 1.3.5

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{5}{1} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Этап 1.3.5.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{5}{1} \cos (x)$

Этап 1.3.6

Разделим $5$ на $1$ .

$1 = 5 \cos (x)$

Этап 2

Перепишем уравнение в виде $5 \cos (x) = 1$ .

$5 \cos (x) = 1$

Этап 3

Разделим каждый член $5 \cos (x) = 1$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $5 \cos (x) = 1$ на $5$ .

$\frac{5 \cos (x)}{5} = \frac{1}{5}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \cos (x)}{5} = \frac{1}{5}$

Этап 3.2.1.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{5}$

Этап 4

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (\frac{1}{5})$

Этап 5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $\arccos (\frac{1}{5})$ .

$x = 1.3694384$

Этап 6

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 (3.14159265) - 1.3694384$

Этап 7

Упростим $2 (3.14159265) - 1.3694384$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $2$ на $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.3694384$

Этап 7.2

Вычтем $1.3694384$ из $6.2831853$ .

$x = 4.9137469$

Этап 8

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 8.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 8.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 8.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 9

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 1.3694384 + 2 π n, 4.9137469 + 2 π n$ , для любого целого $n$