Основы мат. анализа Примеры

$\cos (8 x) = - 1$

Этап 1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$8 x = \arccos (- 1)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $\arccos (- 1)$ : $π$ .

$8 x = π$

Этап 3

Разделим каждый член $8 x = π$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $8 x = π$ на $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{π}{8}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 x}{8} = \frac{π}{8}$

Этап 3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{π}{8}$

Этап 4

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$8 x = 2 π - π$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$8 x = π$

Этап 5.2

Разделим каждый член $8 x = π$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $8 x = π$ на $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{π}{8}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 x}{8} = \frac{π}{8}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{π}{8}$

Этап 6

Найдем период $\cos (8 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2

Заменим $b$ на $8$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 8 |}$

Этап 6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $8$ равно $8$ .

$\frac{2 π}{8}$

Этап 6.4

Сократим общий множитель $2$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{8}$

Этап 6.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 4}$

Этап 6.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2 \cdot 4}$

Этап 6.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π}{4}$

Этап 7

Период функции $\cos (8 x)$ равен $\frac{π}{4}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{π}{4}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{4}$ , для любого целого $n$