Основы мат. анализа Примеры

$\ln (\sqrt{x + 1}) = 7$

Этап 1

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\sqrt{x + 1})} = e^{7}$

Этап 2

Перепишем $\ln (\sqrt{x + 1}) = 7$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{7} = \sqrt{x + 1}$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{x + 1} = e^{7}$ .

$\sqrt{x + 1} = e^{7}$

Этап 3.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x + 1}}^{2} = {(e^{7})}^{2}$

Этап 3.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 1}$ в виде ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(e^{7})}^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(e^{7})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(e^{7})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x + 1)}^{1} = {(e^{7})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.2

Упростим.

$x + 1 = {(e^{7})}^{2}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{7})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + 1 = e^{7 \cdot 2}$

Этап 3.3.3.1.2

Умножим $7$ на $2$ .

$x + 1 = e^{14}$

Этап 3.4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = e^{14} - 1$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = e^{14} - 1$

Десятичная форма:

$x = 1202603.28416478$