Основы мат. анализа Примеры

$\log (\sqrt{x^{3} - 9}) = 2$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{3} - 9}$ в виде ${(x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\log ({(x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Этап 2

Перепишем $\log ({(x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}) = 2$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$10^{2} = {(x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде ${(x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} = 10^{2}$ .

${(x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} = 10^{2}$

Этап 3.2

Возведем обе части уравнения в степень $2$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${({(x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(10^{2})}^{2}$

Этап 3.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Упростим ${({(x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(10^{2})}^{2}$

Этап 3.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(10^{2})}^{2}$

Этап 3.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x^{3} - 9)}^{1} = {(10^{2})}^{2}$

Этап 3.3.1.1.2

Упростим.

$x^{3} - 9 = {(10^{2})}^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим ${(10^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(10^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{3} - 9 = 10^{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.1.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x^{3} - 9 = 10^{4}$

Этап 3.3.2.1.2

Возведем $10$ в степень $4$ .

$x^{3} - 9 = 10000$

Этап 3.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$x^{3} = 10000 + 9$

Этап 3.4.1.2

Добавим $10000$ и $9$ .

$x^{3} = 10009$

Этап 3.4.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{10009}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \sqrt[3]{10009}$

Десятичная форма:

$x = 21.55080826 \dots$