Основы мат. анализа Примеры

$\sec (90 - x) = 2$

Этап 1

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака секанса.

$90 - x = arcsec (2)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $arcsec (2)$ : $\frac{π}{3}$ .

$90 - x = \frac{π}{3}$

Этап 3

Вычтем $90$ из обеих частей уравнения.

$- x = \frac{π}{3} - 90$

Этап 4

Разделим каждый член $- x = \frac{π}{3} - 90$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $- x = \frac{π}{3} - 90$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{\frac{π}{3}}{- 1} + \frac{- 90}{- 1}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{\frac{π}{3}}{- 1} + \frac{- 90}{- 1}$

Этап 4.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{- 1} + \frac{- 90}{- 1}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\frac{π}{3}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot \frac{π}{3} + \frac{- 90}{- 1}$

Этап 4.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot \frac{π}{3}$ в виде $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3} + \frac{- 90}{- 1}$

Этап 4.3.1.3

Разделим $- 90$ на $- 1$ .

$x = - \frac{π}{3} + 90$

Этап 5

Функция секанса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$90 - x = 2 π - \frac{π}{3}$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим $2 π - \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$90 - x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 6.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$90 - x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 6.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$90 - x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 6.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$90 - x = \frac{6 π - π}{3}$

Этап 6.1.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$90 - x = \frac{5 π}{3}$

Этап 6.2

Вычтем $90$ из обеих частей уравнения.

$- x = \frac{5 π}{3} - 90$

Этап 6.3

Разделим каждый член $- x = \frac{5 π}{3} - 90$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $- x = \frac{5 π}{3} - 90$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{\frac{5 π}{3}}{- 1} + \frac{- 90}{- 1}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{\frac{5 π}{3}}{- 1} + \frac{- 90}{- 1}$

Этап 6.3.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{3}}{- 1} + \frac{- 90}{- 1}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\frac{5 π}{3}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot \frac{5 π}{3} + \frac{- 90}{- 1}$

Этап 6.3.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot \frac{5 π}{3}$ в виде $- \frac{5 π}{3}$ .

$x = - \frac{5 π}{3} + \frac{- 90}{- 1}$

Этап 6.3.3.1.3

Разделим $- 90$ на $- 1$ .

$x = - \frac{5 π}{3} + 90$

Этап 7

Найдем период $\sec (90 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.2

Заменим $b$ на $- 1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| - 1 |}$

Этап 7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 1$ и $0$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 8

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{3} + 90$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{3} + 90 + 2 π$

Этап 8.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} + 90$

Этап 8.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3} + 90$

Этап 8.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3} + 90$

Этап 8.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 π - π}{3} + 90$

Этап 8.4.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$\frac{5 π}{3} + 90$

Этап 8.5

Добавим $2 π$ к $- \frac{5 π}{3} + 90$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{5 π}{3} + 90 + 2 π$

Этап 8.6

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{5 π}{3} + 90$

Этап 8.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{5 π}{3} + 90$

Этап 8.7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 3 - 5 π}{3} + 90$

Этап 8.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.8.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 π - 5 π}{3} + 90$

Этап 8.8.2

Вычтем $5 π$ из $6 π$ .

$\frac{π}{3} + 90$

Этап 8.9

Перечислим новые углы.

$x = \frac{π}{3} + 90$

Этап 9

Период функции $\sec (90 - x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{3} + 90 + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 90 + 2 π n$ , для любого целого $n$