Основы мат. анализа Примеры

$\log (x) + \log (x - 2) = \log (3 x)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (x (x - 2)) = \log (3 x)$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (x \cdot x + x \cdot - 2) = \log (3 x)$

Этап 1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\log (x^{2} + x \cdot - 2) = \log (3 x)$

Этап 1.3.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$\log (x^{2} - 2 x) = \log (3 x)$

Этап 2

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$x^{2} - 2 x = 3 x$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $3 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 2 x - 3 x = 0$

Этап 3.1.2

Вычтем $3 x$ из $- 2 x$ .

$x^{2} - 5 x = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \cdot x - 5 x = 0$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- 5 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 5 = 0$

Этап 3.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 5$ .

$x (x - 5) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 5 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3.5

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 3.5.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 5) = 0$ верно.

$x = 0, 5$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log (x) + \log (x - 2) = \log (3 x)$ истинным.

$x = 5$