Основы мат. анализа Примеры

$\log (x) + \log (x - 30) = 3$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (x (x - 30)) = 3$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (x \cdot x + x \cdot - 30) = 3$

Этап 1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\log (x^{2} + x \cdot - 30) = 3$

Этап 1.3.2

Перенесем $- 30$ влево от $x$ .

$\log (x^{2} - 30 x) = 3$

Этап 2

Перепишем $\log (x^{2} - 30 x) = 3$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$10^{3} = x^{2} - 30 x$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} - 30 x = 10^{3}$ .

$x^{2} - 30 x = 10^{3}$

Этап 3.2

Возведем $10$ в степень $3$ .

$x^{2} - 30 x = 1000$

Этап 3.3

Вычтем $1000$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 30 x - 1000 = 0$

Этап 3.4

Разложим $x^{2} - 30 x - 1000$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 1000$ , а сумма — $- 30$ .

$- 50, 20$

Этап 3.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 50) (x + 20) = 0$

Этап 3.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 50 = 0$

$x + 20 = 0$

Этап 3.6

Приравняем $x - 50$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $x - 50$ к $0$ .

$x - 50 = 0$

Этап 3.6.2

Добавим $50$ к обеим частям уравнения.

$x = 50$

Этап 3.7

Приравняем $x + 20$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $x + 20$ к $0$ .

$x + 20 = 0$

Этап 3.7.2

Вычтем $20$ из обеих частей уравнения.

$x = - 20$

Этап 3.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 50) (x + 20) = 0$ верно.

$x = 50, - 20$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log (x) + \log (x - 30) = 3$ истинным.

$x = 50$