Основы мат. анализа Примеры

$81 y^{4} + 1 = 18 y^{2}$

Этап 1

Вычтем $18 y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$81 y^{4} + 1 - 18 y^{2} = 0$

Этап 2

Подставим $u = y^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$81 u^{2} - 18 u + 1 = 0$

$u = y^{2}$

Этап 3

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $81 u^{2}$ в виде ${(9 u)}^{2}$ .

${(9 u)}^{2} - 18 u + 1 = 0$

Этап 3.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

${(9 u)}^{2} - 18 u + 1^{2} = 0$

Этап 3.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$18 u = 2 \cdot (9 u) \cdot 1$

Этап 3.4

Перепишем многочлен.

${(9 u)}^{2} - 2 \cdot (9 u) \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Этап 3.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = 9 u$ и $b = 1$ .

${(9 u - 1)}^{2} = 0$

Этап 4

Приравняем $9 u - 1$ к $0$ .

$9 u - 1 = 0$

Этап 5

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$9 u = 1$

Этап 5.2

Разделим каждый член $9 u = 1$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $9 u = 1$ на $9$ .

$\frac{9 u}{9} = \frac{1}{9}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 u}{9} = \frac{1}{9}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{1}{9}$

Этап 6

Подставим вещественное значение $u = y^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$y^{2} = \frac{1}{9}$

Этап 7

Решим уравнение относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{9}}$

Этап 7.2

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{9}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{9}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$

Этап 7.2.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{9}}$

Этап 7.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

Этап 7.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = \pm \frac{1}{3}$

Этап 7.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{1}{3}$

Этап 7.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{1}{3}$

Этап 7.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$y = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}$

Десятичная форма:

$y = 0.\overline{3}, - 0.\overline{3}$