Основы мат. анализа Примеры

$x^{4} - 3 x^{3} = 81 + 18 x - 5 x^{3}$

Этап 1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $18 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{4} - 3 x^{3} - 18 x = 81 - 5 x^{3}$

Этап 1.2

Добавим $5 x^{3}$ к обеим частям уравнения.

$x^{4} - 3 x^{3} - 18 x + 5 x^{3} = 81$

Этап 1.3

Добавим $- 3 x^{3}$ и $5 x^{3}$ .

$x^{4} + 2 x^{3} - 18 x = 81$

Этап 2

Вычтем $81$ из обеих частей уравнения.

$x^{4} + 2 x^{3} - 18 x - 81 = 0$

Этап 3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перегруппируем члены.

$x^{4} - 81 + 2 x^{3} - 18 x = 0$

Этап 3.2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 81 + 2 x^{3} - 18 x = 0$

Этап 3.3

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 9^{2} + 2 x^{3} - 18 x = 0$

Этап 3.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x^{2}$ и $b = 9$ .

$(x^{2} + 9) (x^{2} - 9) + 2 x^{3} - 18 x = 0$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$(x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2}) + 2 x^{3} - 18 x = 0$

Этап 3.5.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$(x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3)) + 2 x^{3} - 18 x = 0$

Этап 3.5.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x^{3} - 18 x = 0$

Этап 3.6

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{3} - 18 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{3}$ .

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x (x^{2}) - 18 x = 0$

Этап 3.6.2

Вынесем множитель $2 x$ из $- 18 x$ .

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x (x^{2}) + 2 x (- 9) = 0$

Этап 3.6.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x^{2}) + 2 x (- 9)$ .

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x (x^{2} - 9) = 0$

Этап 3.7

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Этап 3.8

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Этап 3.8.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x (x + 3) (x - 3) = 0$

Этап 3.9

Вынесем множитель $(x + 3) (x - 3)$ из $(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x (x + 3) (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Вынесем множитель $(x + 3) (x - 3)$ из $(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 9) + 2 x (x + 3) (x - 3) = 0$

Этап 3.9.2

Вынесем множитель $(x + 3) (x - 3)$ из $2 x (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 9) + (x + 3) (x - 3) (2 x) = 0$

Этап 3.9.3

Вынесем множитель $(x + 3) (x - 3)$ из $(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 9) + (x + 3) (x - 3) (2 x)$ .

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 9 + 2 x) = 0$

Этап 3.10

Изменим порядок членов.

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 2 x + 9) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 2 x + 9 = 0$

Этап 5

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 6

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 6.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 7

Приравняем $x^{2} + 2 x + 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $x^{2} + 2 x + 9$ к $0$ .

$x^{2} + 2 x + 9 = 0$

Этап 7.2

Решим $x^{2} + 2 x + 9 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 7.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 2$ и $c = 9$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $9$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 36}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.3.1.3

Вычтем $36$ из $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 32}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.3.1.4

Перепишем $- 32$ в виде $- 1 (32)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (32)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.3.1.7

Перепишем $32$ в виде $4^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.3.1.7.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (4 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.3.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 4 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 4 i \sqrt{2}}{2}$

Этап 7.2.3.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 4 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1 \pm 2 i \sqrt{2}$

Этап 7.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - 1 + 2 i \sqrt{2}, - 1 - 2 i \sqrt{2}$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 2 x + 9) = 0$ верно.

$x = - 3, 3, - 1 + 2 i \sqrt{2}, - 1 - 2 i \sqrt{2}$