Основы мат. анализа Примеры

${(1 + \frac{1}{x})}^{2} - {(1 - \frac{1}{x})}^{2}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(1 + \frac{1}{x})}^{2}$ в виде $(1 + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x})$ .

$(1 + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x}) - {(1 - \frac{1}{x})}^{2}$

Этап 1.2

Развернем $(1 + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 (1 + \frac{1}{x}) + \frac{1}{x} (1 + \frac{1}{x}) - {(1 - \frac{1}{x})}^{2}$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cdot 1 + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x} (1 + \frac{1}{x}) - {(1 - \frac{1}{x})}^{2}$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cdot 1 + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} - {(1 - \frac{1}{x})}^{2}$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$1 + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} - {(1 - \frac{1}{x})}^{2}$

Этап 1.3.1.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $1$ .

$1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} - {(1 - \frac{1}{x})}^{2}$

Этап 1.3.1.3

Умножим $\frac{1}{x}$ на $1$ .

$1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} - {(1 - \frac{1}{x})}^{2}$

Этап 1.3.1.4

Умножим $\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.4.1

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{1}{x}$ .

$1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x \cdot x} - {(1 - \frac{1}{x})}^{2}$

Этап 1.3.1.4.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{1} x} - {(1 - \frac{1}{x})}^{2}$

Этап 1.3.1.4.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{1} x^{1}} - {(1 - \frac{1}{x})}^{2}$

Этап 1.3.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{1 + 1}} - {(1 - \frac{1}{x})}^{2}$

Этап 1.3.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} - {(1 - \frac{1}{x})}^{2}$

Этап 1.3.2

Добавим $\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{x}$ .

$1 + 2 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} - {(1 - \frac{1}{x})}^{2}$

Этап 1.4

Объединим $2$ и $\frac{1}{x}$ .

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - {(1 - \frac{1}{x})}^{2}$

Этап 1.5

Перепишем ${(1 - \frac{1}{x})}^{2}$ в виде $(1 - \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x})$ .

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - ((1 - \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x}))$

Этап 1.6

Развернем $(1 - \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - (1 (1 - \frac{1}{x}) - \frac{1}{x} (1 - \frac{1}{x}))$

Этап 1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - (1 \cdot 1 + 1 (- \frac{1}{x}) - \frac{1}{x} (1 - \frac{1}{x}))$

Этап 1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - (1 \cdot 1 + 1 (- \frac{1}{x}) - \frac{1}{x} \cdot 1 - \frac{1}{x} (- \frac{1}{x}))$

Этап 1.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - (1 + 1 (- \frac{1}{x}) - \frac{1}{x} \cdot 1 - \frac{1}{x} (- \frac{1}{x}))$

Этап 1.7.1.2

Умножим $- \frac{1}{x}$ на $1$ .

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - (1 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} \cdot 1 - \frac{1}{x} (- \frac{1}{x}))$

Этап 1.7.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - (1 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} (- \frac{1}{x}))$

Этап 1.7.1.4

Умножим $- \frac{1}{x} (- \frac{1}{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - (1 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x} \frac{1}{x})$

Этап 1.7.1.4.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $1$ .

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - (1 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x})$

Этап 1.7.1.4.3

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{1}{x}$ .

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - (1 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x \cdot x})$

Этап 1.7.1.4.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - (1 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{1} x})$

Этап 1.7.1.4.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - (1 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{1} x^{1}})$

Этап 1.7.1.4.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - (1 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{1 + 1}})$

Этап 1.7.1.4.7

Добавим $1$ и $1$ .

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - (1 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}})$

Этап 1.7.2

Вычтем $\frac{1}{x}$ из $- \frac{1}{x}$ .

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - (1 - 2 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}})$

Этап 1.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x}$ .

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - (1 + \frac{- 2}{x} + \frac{1}{x^{2}})$

Этап 1.8.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - (1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}})$

Этап 1.9

Применим свойство дистрибутивности.

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - 1 \cdot 1 - - \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - 1 - - \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.10.2

Умножим $- - \frac{2}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - 1 + 1 \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.10.2.2

Умножим $\frac{2}{x}$ на $1$ .

$1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - 1 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим противоположные члены в $1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - 1 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} + 0 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 2.1.2

Добавим $\frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}$ и $0$ .

$\frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 2.1.3

Вычтем $\frac{1}{x^{2}}$ из $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2}{x} + \frac{2}{x} + 0$

Этап 2.1.4

Добавим $\frac{2}{x} + \frac{2}{x}$ и $0$ .

$\frac{2}{x} + \frac{2}{x}$

Этап 2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 + 2}{x}$

Этап 2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{4}{x}$