Основы мат. анализа Примеры

$2 \cos^{2} (t) - \cos (t) - 1 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \cos (t)$ . Подставим $u$ вместо $\cos (t)$ для всех.

$2 u^{2} - u - 1 = 0$

Этап 1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- u$ .

$2 u^{2} - (u) - 1 = 0$

Этап 1.2.1.2

Запишем $- 1$ как $1$ плюс $- 2$

$2 u^{2} + (1 - 2) u - 1 = 0$

Этап 1.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1 = 0$

Этап 1.2.1.4

Умножим $u$ на $1$ .

$2 u^{2} + u - 2 u - 1 = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 u^{2} + u) - 2 u - 1 = 0$

Этап 1.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (2 u + 1) - (2 u + 1) = 0$

Этап 1.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u + 1$ .

$(2 u + 1) (u - 1) = 0$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (t)$ .

$(2 \cos (t) + 1) (\cos (t) - 1) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 \cos (t) + 1 = 0$

$\cos (t) - 1 = 0$

Этап 3

Приравняем $2 \cos (t) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $2 \cos (t) + 1$ к $0$ .

$2 \cos (t) + 1 = 0$

Этап 3.2

Решим $2 \cos (t) + 1 = 0$ относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 \cos (t) = - 1$

Этап 3.2.2

Разделим каждый член $2 \cos (t) = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разделим каждый член $2 \cos (t) = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 \cos (t)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cos (t)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 3.2.2.2.1.2

Разделим $\cos (t)$ на $1$ .

$\cos (t) = \frac{- 1}{2}$

Этап 3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (t) = - \frac{1}{2}$

Этап 3.2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $t$ из косинуса.

$t = \arccos (- \frac{1}{2})$

Этап 3.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Точное значение $\arccos (- \frac{1}{2})$ : $\frac{2 π}{3}$ .

$t = \frac{2 π}{3}$

Этап 3.2.5

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$t = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Этап 3.2.6

Упростим $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$t = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Этап 3.2.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$t = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Этап 3.2.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$t = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Этап 3.2.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$t = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Этап 3.2.6.3.2

Вычтем $2 π$ из $6 π$ .

$t = \frac{4 π}{3}$

Этап 3.2.7

Найдем период $\cos (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.2.8

Период функции $\cos (t)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$t = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Приравняем $\cos (t) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\cos (t) - 1$ к $0$ .

$\cos (t) - 1 = 0$

Этап 4.2

Решим $\cos (t) - 1 = 0$ относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\cos (t) = 1$

Этап 4.2.2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $t$ из косинуса.

$t = \arccos (1)$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Точное значение $\arccos (1)$ : $0$ .

$t = 0$

Этап 4.2.4

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$t = 2 π - 0$

Этап 4.2.5

Вычтем $0$ из $2 π$ .

$t = 2 π$

Этап 4.2.6

Найдем период $\cos (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.2.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 4.2.7

Период функции $\cos (t)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$t = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 \cos (t) + 1) (\cos (t) - 1) = 0$ верно.

$t = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Объединим ответы.

$t = \frac{2 π n}{3}$ , для любого целого $n$