Основы мат. анализа Примеры

$\log_{6} (w - 1) + \log_{6} (w - 2) = 1$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{6} ((w - 1) (w - 2)) = 1$

Этап 1.2

Развернем $(w - 1) (w - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{6} (w (w - 2) - 1 (w - 2)) = 1$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{6} (w \cdot w + w \cdot - 2 - 1 (w - 2)) = 1$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{6} (w \cdot w + w \cdot - 2 - 1 w - 1 \cdot - 2) = 1$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $w$ на $w$ .

$\log_{6} (w^{2} + w \cdot - 2 - 1 w - 1 \cdot - 2) = 1$

Этап 1.3.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $w$ .

$\log_{6} (w^{2} - 2 \cdot w - 1 w - 1 \cdot - 2) = 1$

Этап 1.3.1.3

Перепишем $- 1 w$ в виде $- w$ .

$\log_{6} (w^{2} - 2 w - w - 1 \cdot - 2) = 1$

Этап 1.3.1.4

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\log_{6} (w^{2} - 2 w - w + 2) = 1$

Этап 1.3.2

Вычтем $w$ из $- 2 w$ .

$\log_{6} (w^{2} - 3 w + 2) = 1$

Этап 2

Перепишем $\log_{6} (w^{2} - 3 w + 2) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$6^{1} = w^{2} - 3 w + 2$

Этап 3

Решим относительно $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $w^{2} - 3 w + 2 = 6^{1}$ .

$w^{2} - 3 w + 2 = 6$

Этап 3.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$w^{2} - 3 w + 2 - 6 = 0$

Этап 3.3

Вычтем $6$ из $2$ .

$w^{2} - 3 w - 4 = 0$

Этап 3.4

Разложим $w^{2} - 3 w - 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 4$ , а сумма — $- 3$ .

$- 4, 1$

Этап 3.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(w - 4) (w + 1) = 0$

Этап 3.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$w - 4 = 0$

$w + 1 = 0$

Этап 3.6

Приравняем $w - 4$ к $0$ , затем решим относительно $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $w - 4$ к $0$ .

$w - 4 = 0$

Этап 3.6.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$w = 4$

Этап 3.7

Приравняем $w + 1$ к $0$ , затем решим относительно $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $w + 1$ к $0$ .

$w + 1 = 0$

Этап 3.7.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$w = - 1$

Этап 3.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(w - 4) (w + 1) = 0$ верно.

$w = 4, - 1$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log_{6} (w - 1) + \log_{6} (w - 2) = 1$ истинным.

$w = 4$