Основы мат. анализа Примеры

$\csc (u) - \cot (u) = \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Выразим $\csc (u)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\sin (u)} - \cot (u) = \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$

Этап 1.1.2

Выразим $\cot (u)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\sin (u)} - \frac{\cos (u)}{\sin (u)} = \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$

Этап 2

Умножим обе части уравнения на $\sin (u)$ .

$\sin (u) (\frac{1}{\sin (u)} - \frac{\cos (u)}{\sin (u)}) = \sin (u) \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$

Этап 3

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (u) \frac{1}{\sin (u)} + \sin (u) (- \frac{\cos (u)}{\sin (u)}) = \sin (u) \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$

Этап 4

Сократим общий множитель $\sin (u)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (u) \frac{1}{\sin (u)} + \sin (u) (- \frac{\cos (u)}{\sin (u)}) = \sin (u) \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$

Этап 4.2

Перепишем это выражение.

$1 + \sin (u) (- \frac{\cos (u)}{\sin (u)}) = \sin (u) \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$

Этап 5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 - \sin (u) \frac{\cos (u)}{\sin (u)} = \sin (u) \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$

Этап 6

Сократим общий множитель $\sin (u)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $\sin (u)$ из $- \sin (u)$ .

$1 + \sin (u) \cdot - 1 \frac{\cos (u)}{\sin (u)} = \sin (u) \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель.

$1 + \sin (u) \cdot - 1 \frac{\cos (u)}{\sin (u)} = \sin (u) \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$

Этап 6.3

Перепишем это выражение.

$1 - \cos (u) = \sin (u) \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$

Этап 7

Умножим $\sin (u) \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\sin (u)$ и $\frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$ .

$1 - \cos (u) = \frac{\sin (u) \sin (u)}{1 + \cos (u)}$

Этап 7.2

Возведем $\sin (u)$ в степень $1$ .

$1 - \cos (u) = \frac{\sin^{1} (u) \sin (u)}{1 + \cos (u)}$

Этап 7.3

Возведем $\sin (u)$ в степень $1$ .

$1 - \cos (u) = \frac{\sin^{1} (u) \sin^{1} (u)}{1 + \cos (u)}$

Этап 7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 - \cos (u) = \frac{{\sin (u)}^{1 + 1}}{1 + \cos (u)}$

Этап 7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$1 - \cos (u) = \frac{\sin^{2} (u)}{1 + \cos (u)}$

Этап 8

Вычтем $\frac{\sin^{2} (u)}{1 + \cos (u)}$ из обеих частей уравнения.

$1 - \cos (u) - \frac{\sin^{2} (u)}{1 + \cos (u)} = 0$

Этап 9

Упростим $1 - \cos (u) - \frac{\sin^{2} (u)}{1 + \cos (u)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Чтобы записать $- \cos (u)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + \cos (u)}{1 + \cos (u)}$ .

$1 - \cos (u) \cdot \frac{1 + \cos (u)}{1 + \cos (u)} - \frac{\sin^{2} (u)}{1 + \cos (u)} = 0$

Этап 9.2

Объединим $- \cos (u)$ и $\frac{1 + \cos (u)}{1 + \cos (u)}$ .

$1 + \frac{- \cos (u) (1 + \cos (u))}{1 + \cos (u)} - \frac{\sin^{2} (u)}{1 + \cos (u)} = 0$

Этап 9.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$1 + \frac{- \cos (u) (1 + \cos (u)) - \sin^{2} (u)}{1 + \cos (u)} = 0$

Этап 9.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 + \frac{- \cos (u) \cdot 1 - \cos (u) \cos (u) - \sin^{2} (u)}{1 + \cos (u)} = 0$

Этап 9.4.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$1 + \frac{- \cos (u) - \cos (u) \cos (u) - \sin^{2} (u)}{1 + \cos (u)} = 0$

Этап 9.4.1.3

Умножим $- \cos (u) \cos (u)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1.3.1

Возведем $\cos (u)$ в степень $1$ .

$1 + \frac{- \cos (u) - (\cos^{1} (u) \cos (u)) - \sin^{2} (u)}{1 + \cos (u)} = 0$

Этап 9.4.1.3.2

Возведем $\cos (u)$ в степень $1$ .

$1 + \frac{- \cos (u) - (\cos^{1} (u) \cos^{1} (u)) - \sin^{2} (u)}{1 + \cos (u)} = 0$

Этап 9.4.1.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 + \frac{- \cos (u) - {\cos (u)}^{1 + 1} - \sin^{2} (u)}{1 + \cos (u)} = 0$

Этап 9.4.1.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$1 + \frac{- \cos (u) - \cos^{2} (u) - \sin^{2} (u)}{1 + \cos (u)} = 0$

Этап 9.4.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- \cos^{2} (u)$ .

$1 + \frac{- \cos (u) - (\cos^{2} (u)) - \sin^{2} (u)}{1 + \cos (u)} = 0$

Этап 9.4.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin^{2} (u)$ .

$1 + \frac{- \cos (u) - (\cos^{2} (u)) - (\sin^{2} (u))}{1 + \cos (u)} = 0$

Этап 9.4.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\cos^{2} (u)) - (\sin^{2} (u))$ .

$1 + \frac{- \cos (u) - (\cos^{2} (u) + \sin^{2} (u))}{1 + \cos (u)} = 0$

Этап 9.4.1.7

Переставляем члены.

$1 + \frac{- \cos (u) - (\sin^{2} (u) + \cos^{2} (u))}{1 + \cos (u)} = 0$

Этап 9.4.1.8

Применим формулу Пифагора.

$1 + \frac{- \cos (u) - 1 \cdot 1}{1 + \cos (u)} = 0$

Этап 9.4.1.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$1 + \frac{- \cos (u) - 1}{1 + \cos (u)} = 0$

Этап 9.4.1.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- \cos (u) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1.10.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \cos (u)$ .

$1 + \frac{- (\cos (u)) - 1}{1 + \cos (u)} = 0$

Этап 9.4.1.10.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$1 + \frac{- (\cos (u)) - 1 (1)}{1 + \cos (u)} = 0$

Этап 9.4.1.10.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\cos (u)) - 1 (1)$ .

$1 + \frac{- (\cos (u) + 1)}{1 + \cos (u)} = 0$

Этап 9.4.2

Сократим общий множитель $\cos (u) + 1$ и $1 + \cos (u)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.1

Изменим порядок членов.

$1 + \frac{- (1 + \cos (u))}{1 + \cos (u)} = 0$

Этап 9.4.2.2

Сократим общий множитель.

$1 + \frac{- (1 + \cos (u))}{1 + \cos (u)} = 0$

Этап 9.4.2.3

Разделим $- 1$ на $1$ .

$1 - 1 = 0$

Этап 9.5

Вычтем $1$ из $1$ .

$0 = 0$

Этап 10

Поскольку $0 = 0$ , это уравнение всегда будет истинным для любого значения $u$ .

Все вещественные числа

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Все вещественные числа

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$