Основы мат. анализа Примеры

${(\sqrt{2})}^{x + 4} = 4^{x}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{x + 4} = 4^{x}$

Этап 2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} (x + 4)} = 4^{x}$

Этап 3

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$2^{\frac{1}{2} (x + 4)} = 2^{2 x}$

Этап 4

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$\frac{1}{2} (x + 4) = 2 x$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим $\frac{1}{2} \cdot (x + 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot (x + 4) = 2 x$

Этап 5.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$\frac{1}{2} \cdot (x + 4) = 2 x$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot 4 = 2 x$

Этап 5.1.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot 4 = 2 x$

Этап 5.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (2)) = 2 x$

Этап 5.1.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) = 2 x$

Этап 5.1.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x}{2} + 2 = 2 x$

Этап 5.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$\frac{x}{2} + 2 - 2 x = 0$

Этап 5.2.2

Чтобы записать $- 2 x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} - 2 x \cdot \frac{2}{2} + 2 = 0$

Этап 5.2.3

Объединим $- 2 x$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{- 2 x \cdot 2}{2} + 2 = 0$

Этап 5.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x - 2 x \cdot 2}{2} + 2 = 0$

Этап 5.2.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x - 2 x \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{1} - 2 x \cdot 2}{2} + 2 = 0$

Этап 5.2.5.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 - 2 x \cdot 2}{2} + 2 = 0$

Этап 5.2.5.1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x \cdot 2$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (- 2 \cdot 2)}{2} + 2 = 0$

Этап 5.2.5.1.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 1 + x (- 2 \cdot 2)$ .

$\frac{x (1 - 2 \cdot 2)}{2} + 2 = 0$

Этап 5.2.5.1.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{x (1 - 4)}{2} + 2 = 0$

Этап 5.2.5.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$\frac{x \cdot - 3}{2} + 2 = 0$

Этап 5.2.5.2

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$\frac{- 3 \cdot x}{2} + 2 = 0$

Этап 5.2.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 x}{2} + 2 = 0$

Этап 5.3

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{3 x}{2} = - 2$

Этап 5.4

Умножим обе части уравнения на $- \frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{3} (- \frac{3 x}{2}) = - \frac{2}{3} \cdot - 2$

Этап 5.5

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Упростим $- \frac{2}{3} (- \frac{3 x}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{3}$ в числитель.

$\frac{- 2}{3} (- \frac{3 x}{2}) = - \frac{2}{3} \cdot - 2$

Этап 5.5.1.1.1.2

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3 x}{2}$ в числитель.

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{- 3 x}{2} = - \frac{2}{3} \cdot - 2$

Этап 5.5.1.1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 3 x}{2} = - \frac{2}{3} \cdot - 2$

Этап 5.5.1.1.1.4

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 3 x}{2} = - \frac{2}{3} \cdot - 2$

Этап 5.5.1.1.1.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{3} (- 3 x) = - \frac{2}{3} \cdot - 2$

Этап 5.5.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x$ .

$\frac{- 1}{3} (3 (- x)) = - \frac{2}{3} \cdot - 2$

Этап 5.5.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{3} (3 (- x)) = - \frac{2}{3} \cdot - 2$

Этап 5.5.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- - x = - \frac{2}{3} \cdot - 2$

Этап 5.5.1.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 x = - \frac{2}{3} \cdot - 2$

Этап 5.5.1.1.3.2

Умножим $x$ на $1$ .

$x = - \frac{2}{3} \cdot - 2$

Этап 5.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Умножим $- \frac{2}{3} \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$x = 2 (\frac{2}{3})$

Этап 5.5.2.1.2

Объединим $2$ и $\frac{2}{3}$ .

$x = \frac{2 \cdot 2}{3}$

Этап 5.5.2.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{4}{3}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{4}{3}$

Десятичная форма:

$x = 1.\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$x = 1 \frac{1}{3}$