Основы мат. анализа Примеры

${(\frac{9}{4})}^{x} = 5^{1 - x}$

Этап 1

Возьмем логарифм обеих частей уравнения.

$\ln ({(\frac{9}{4})}^{x}) = \ln (5^{1 - x})$

Этап 2

Развернем $\ln ({(\frac{9}{4})}^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (\frac{9}{4}) = \ln (5^{1 - x})$

Этап 3

Перепишем $\ln (\frac{9}{4})$ в виде $\ln (9) - \ln (4)$ .

$x (\ln (9) - \ln (4)) = \ln (5^{1 - x})$

Этап 4

Перепишем $\ln (4)$ в виде $\ln (2^{2})$ .

$x (\ln (9) - \ln (2^{2})) = \ln (5^{1 - x})$

Этап 5

Развернем $\ln (2^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$x (\ln (9) - (2 \ln (2))) = \ln (5^{1 - x})$

Этап 6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x (\ln (9) - 2 \ln (2)) = \ln (5^{1 - x})$

Этап 7

Развернем $\ln (5^{1 - x})$ , вынося $1 - x$ из логарифма.

$x (\ln (9) - 2 \ln (2)) = (1 - x) \ln (5)$

Этап 8

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим $x (\ln (9) - 2 \ln (2))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + x (\ln (9) - 2 \ln (2)) = (1 - x) \ln (5)$

Этап 8.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$x (\ln (9) - 2 \ln (2)) = (1 - x) \ln (5)$

Этап 8.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \ln (9) + x (- 2 \ln (2)) = (1 - x) \ln (5)$

Этап 8.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x \ln (9) - 2 x \ln (2) = (1 - x) \ln (5)$

Этап 8.2

Упростим $(1 - x) \ln (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \ln (9) - 2 x \ln (2) = 1 \ln (5) - x \ln (5)$

Этап 8.2.2

Умножим $\ln (5)$ на $1$ .

$x \ln (9) - 2 x \ln (2) = \ln (5) - x \ln (5)$

Этап 8.3

Добавим $x \ln (5)$ к обеим частям уравнения.

$x \ln (9) - 2 x \ln (2) + x \ln (5) = \ln (5)$

Этап 8.4

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (9) - 2 x \ln (2) + x \ln (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (9)$ .

$x (\ln (9)) - 2 x \ln (2) + x \ln (5) = \ln (5)$

Этап 8.4.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x \ln (2)$ .

$x (\ln (9)) + x (- 2 \ln (2)) + x \ln (5) = \ln (5)$

Этап 8.4.3

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (5)$ .

$x (\ln (9)) + x (- 2 \ln (2)) + x (\ln (5)) = \ln (5)$

Этап 8.4.4

Вынесем множитель $x$ из $x (\ln (9)) + x (- 2 \ln (2))$ .

$x (\ln (9) - 2 \ln (2)) + x (\ln (5)) = \ln (5)$

Этап 8.4.5

Вынесем множитель $x$ из $x (\ln (9) - 2 \ln (2)) + x (\ln (5))$ .

$x (\ln (9) - 2 \ln (2) + \ln (5)) = \ln (5)$

Этап 8.5

Разделим каждый член $x (\ln (9) - 2 \ln (2) + \ln (5)) = \ln (5)$ на $\ln (9) - 2 \ln (2) + \ln (5)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Разделим каждый член $x (\ln (9) - 2 \ln (2) + \ln (5)) = \ln (5)$ на $\ln (9) - 2 \ln (2) + \ln (5)$ .

$\frac{x (\ln (9) - 2 \ln (2) + \ln (5))}{\ln (9) - 2 \ln (2) + \ln (5)} = \frac{\ln (5)}{\ln (9) - 2 \ln (2) + \ln (5)}$

Этап 8.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.2.1

Сократим общий множитель $\ln (9) - 2 \ln (2) + \ln (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (\ln (9) - 2 \ln (2) + \ln (5))}{\ln (9) - 2 \ln (2) + \ln (5)} = \frac{\ln (5)}{\ln (9) - 2 \ln (2) + \ln (5)}$

Этап 8.5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\ln (5)}{\ln (9) - 2 \ln (2) + \ln (5)}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{\ln (5)}{\ln (9) - 2 \ln (2) + \ln (5)}$

Десятичная форма:

$x = 0.66495583 \dots$