Основы мат. анализа Примеры

${(\sqrt{3})}^{x + 5} = 81^{x}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

${(3^{\frac{1}{2}})}^{x + 5} = 81^{x}$

Этап 2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{\frac{1}{2} (x + 5)} = 81^{x}$

Этап 3

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$3^{\frac{1}{2} (x + 5)} = 3^{4 x}$

Этап 4

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$\frac{1}{2} (x + 5) = 4 x$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим $\frac{1}{2} \cdot (x + 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot (x + 5) = 4 x$

Этап 5.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$\frac{1}{2} \cdot (x + 5) = 4 x$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot 5 = 4 x$

Этап 5.1.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot 5 = 4 x$

Этап 5.1.5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $5$ .

$\frac{x}{2} + \frac{5}{2} = 4 x$

Этап 5.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $4 x$ из обеих частей уравнения.

$\frac{x}{2} + \frac{5}{2} - 4 x = 0$

Этап 5.2.2

Чтобы записать $- 4 x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} - 4 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2} = 0$

Этап 5.2.3

Объединим $- 4 x$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{- 4 x \cdot 2}{2} + \frac{5}{2} = 0$

Этап 5.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x - 4 x \cdot 2}{2} + \frac{5}{2} = 0$

Этап 5.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x - 4 x \cdot 2 + 5}{2} = 0$

Этап 5.2.6

Умножим $2$ на $- 4$ .

$\frac{x - 8 x + 5}{2} = 0$

Этап 5.2.7

Вычтем $8 x$ из $x$ .

$\frac{- 7 x + 5}{2} = 0$

Этап 5.2.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- 7 x$ .

$\frac{- (7 x) + 5}{2} = 0$

Этап 5.2.9

Перепишем $5$ в виде $- 1 (- 5)$ .

$\frac{- (7 x) - 1 (- 5)}{2} = 0$

Этап 5.2.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (7 x) - 1 (- 5)$ .

$\frac{- (7 x - 5)}{2} = 0$

Этап 5.2.11

Перепишем $- (7 x - 5)$ в виде $- 1 (7 x - 5)$ .

$\frac{- 1 (7 x - 5)}{2} = 0$

Этап 5.2.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{7 x - 5}{2} = 0$

Этап 5.3

Приравняем числитель к нулю.

$7 x - 5 = 0$

Этап 5.4

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$7 x = 5$

Этап 5.4.2

Разделим каждый член $7 x = 5$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Разделим каждый член $7 x = 5$ на $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{5}{7}$

Этап 5.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 x}{7} = \frac{5}{7}$

Этап 5.4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{5}{7}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{5}{7}$

Десятичная форма:

$x = 0.\overline{714285}$