Основы мат. анализа Примеры

$| x - 1 | + | x - 2 | = 3$

Этап 1

Вычтем $| x - 1 |$ из обеих частей уравнения.

$| x - 2 | = 3 - | x - 1 |$

Этап 2

Решим относительно $| x - 1 |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $3 - | x - 1 | = | x - 2 |$ .

$3 - | x - 1 | = | x - 2 |$

Этап 2.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- | x - 1 | = | x - 2 | - 3$

Этап 2.3

Разделим каждый член $- | x - 1 | = | x - 2 | - 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $- | x - 1 | = | x - 2 | - 3$ на $- 1$ .

$\frac{- | x - 1 |}{- 1} = \frac{| x - 2 |}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{| x - 1 |}{1} = \frac{| x - 2 |}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 2.3.2.2

Разделим $| x - 1 |$ на $1$ .

$| x - 1 | = \frac{| x - 2 |}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{| x - 2 |}{- 1}$ .

$| x - 1 | = - 1 \cdot | x - 2 | + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 2.3.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot | x - 2 |$ в виде $- | x - 2 |$ .

$| x - 1 | = - | x - 2 | + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 2.3.3.1.3

Разделим $- 3$ на $- 1$ .

$| x - 1 | = - | x - 2 | + 3$

Этап 3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x - 1 = \pm (- | x - 2 | + 3)$

Этап 4

Результат состоит как из положительных, так и из отрицательных частей $\pm$ .

$x - 1 = - | x - 2 | + 3$

$x - 1 = - (- | x - 2 | + 3)$

Этап 5

Решим $x - 1 = - | x - 2 | + 3$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Решим относительно $| x - 2 |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем уравнение в виде $- | x - 2 | + 3 = x - 1$ .

$- | x - 2 | + 3 = x - 1$

Этап 5.1.2

Перенесем все члены без $| x - 2 |$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- | x - 2 | = x - 1 - 3$

Этап 5.1.2.2

Вычтем $3$ из $- 1$ .

$- | x - 2 | = x - 4$

Этап 5.1.3

Разделим каждый член $- | x - 2 | = x - 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Разделим каждый член $- | x - 2 | = x - 4$ на $- 1$ .

$\frac{- | x - 2 |}{- 1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Этап 5.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{| x - 2 |}{1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Этап 5.1.3.2.2

Разделим $| x - 2 |$ на $1$ .

$| x - 2 | = \frac{x}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Этап 5.1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{x}{- 1}$ .

$| x - 2 | = - 1 \cdot x + \frac{- 4}{- 1}$

Этап 5.1.3.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot x$ в виде $- x$ .

$| x - 2 | = - x + \frac{- 4}{- 1}$

Этап 5.1.3.3.1.3

Разделим $- 4$ на $- 1$ .

$| x - 2 | = - x + 4$

Этап 5.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x - 2 = \pm (- x + 4)$

Этап 5.3

Результат состоит как из положительных, так и из отрицательных частей $\pm$ .

$x - 2 = - x + 4$

$x - 2 = - (- x + 4)$

Этап 5.4

Решим $x - 2 = - x + 4$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$x - 2 + x = 4$

Этап 5.4.1.2

Добавим $x$ и $x$ .

$2 x - 2 = 4$

Этап 5.4.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 4 + 2$

Этап 5.4.2.2

Добавим $4$ и $2$ .

$2 x = 6$

Этап 5.4.3

Разделим каждый член $2 x = 6$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Разделим каждый член $2 x = 6$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$

Этап 5.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$

Этап 5.4.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{6}{2}$

Этап 5.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.1

Разделим $6$ на $2$ .

$x = 3$

Этап 5.5

Решим $x - 2 = - (- x + 4)$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Упростим $- (- x + 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Перепишем.

$x - 2 = 0 + 0 - (- x + 4)$

Этап 5.5.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$x - 2 = - (- x + 4)$

Этап 5.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x - 2 = - - x - 1 \cdot 4$

Этап 5.5.1.4

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x - 2 = 1 x - 1 \cdot 4$

Этап 5.5.1.4.2

Умножим $x$ на $1$ .

$x - 2 = x - 1 \cdot 4$

Этап 5.5.1.5

Умножим $- 1$ на $4$ .

$x - 2 = x - 4$

Этап 5.5.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$x - 2 - x = - 4$

Этап 5.5.2.2

Объединим противоположные члены в $x - 2 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$0 - 2 = - 4$

Этап 5.5.2.2.2

Вычтем $2$ из $0$ .

$- 2 = - 4$

Этап 5.5.3

Поскольку $- 2 \neq - 4$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 5.6

Объединим решения.

$x = 3$

Этап 6

Решим $x - 1 = - (- | x - 2 | + 3)$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Решим относительно $| x - 2 |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Перепишем уравнение в виде $- (- | x - 2 | + 3) = x - 1$ .

$- (- | x - 2 | + 3) = x - 1$

Этап 6.1.2

Упростим $- (- | x - 2 | + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- - | x - 2 | - 1 \cdot 3 = x - 1$

Этап 6.1.2.2

Умножим $- - | x - 2 |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 | x - 2 | - 1 \cdot 3 = x - 1$

Этап 6.1.2.2.2

Умножим $| x - 2 |$ на $1$ .

$| x - 2 | - 1 \cdot 3 = x - 1$

Этап 6.1.2.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$| x - 2 | - 3 = x - 1$

Этап 6.1.3

Перенесем все члены без $| x - 2 |$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$| x - 2 | = x - 1 + 3$

Этап 6.1.3.2

Добавим $- 1$ и $3$ .

$| x - 2 | = x + 2$

Этап 6.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x - 2 = \pm (x + 2)$

Этап 6.3

Результат состоит как из положительных, так и из отрицательных частей $\pm$ .

$x - 2 = x + 2$

$x - 2 = - (x + 2)$

Этап 6.4

Решим $x - 2 = x + 2$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$x - 2 - x = 2$

Этап 6.4.1.2

Объединим противоположные члены в $x - 2 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.2.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$0 - 2 = 2$

Этап 6.4.1.2.2

Вычтем $2$ из $0$ .

$- 2 = 2$

Этап 6.4.2

Поскольку $- 2 \neq 2$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 6.5

Решим $x - 2 = - (x + 2)$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Упростим $- (x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.1

Перепишем.

$x - 2 = 0 + 0 - (x + 2)$

Этап 6.5.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$x - 2 = - (x + 2)$

Этап 6.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x - 2 = - x - 1 \cdot 2$

Этап 6.5.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x - 2 = - x - 2$

Этап 6.5.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$x - 2 + x = - 2$

Этап 6.5.2.2

Добавим $x$ и $x$ .

$2 x - 2 = - 2$

Этап 6.5.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$2 x = - 2 + 2$

Этап 6.5.3.2

Добавим $- 2$ и $2$ .

$2 x = 0$

Этап 6.5.4

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.4.1

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 6.5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 6.5.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Этап 6.5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.4.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x = 0$

Этап 6.6

Объединим решения.

$x = 0$

Этап 7

Объединим решения.

$x = 3, 0$

Этап 8