Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 2} = \frac{7}{10}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x - 1, x + 2, 10$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

У $10$ есть множители: $2$ и $5$ .

$2 \cdot 5$

Этап 1.5

Умножим $2$ на $5$ .

$10$

Этап 1.6

Множителем $x - 1$ является само значение $x - 1$ .

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

Множителем $x + 2$ является само значение $x + 2$ .

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.8

НОК $x - 1, x + 2$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x - 1) (x + 2)$

Этап 1.9

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$10 (x - 1) (x + 2)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 2} = \frac{7}{10}$ умножим на $10 (x - 1) (x + 2)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 2} = \frac{7}{10}$ на $10 (x - 1) (x + 2)$ .

$\frac{1}{x - 1} (10 (x - 1) (x + 2)) + \frac{1}{x + 2} (10 (x - 1) (x + 2)) = \frac{7}{10} (10 (x - 1) (x + 2))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$10 \frac{1}{x - 1} ((x - 1) (x + 2)) + \frac{1}{x + 2} (10 (x - 1) (x + 2)) = \frac{7}{10} (10 (x - 1) (x + 2))$

Этап 2.2.1.2

Объединим $10$ и $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{10}{x - 1} ((x - 1) (x + 2)) + \frac{1}{x + 2} (10 (x - 1) (x + 2)) = \frac{7}{10} (10 (x - 1) (x + 2))$

Этап 2.2.1.3

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10}{x - 1} ((x - 1) (x + 2)) + \frac{1}{x + 2} (10 (x - 1) (x + 2)) = \frac{7}{10} (10 (x - 1) (x + 2))$

Этап 2.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$10 (x + 2) + \frac{1}{x + 2} (10 (x - 1) (x + 2)) = \frac{7}{10} (10 (x - 1) (x + 2))$

Этап 2.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$10 x + 10 \cdot 2 + \frac{1}{x + 2} (10 (x - 1) (x + 2)) = \frac{7}{10} (10 (x - 1) (x + 2))$

Этап 2.2.1.5

Умножим $10$ на $2$ .

$10 x + 20 + \frac{1}{x + 2} (10 (x - 1) (x + 2)) = \frac{7}{10} (10 (x - 1) (x + 2))$

Этап 2.2.1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$10 x + 20 + 10 \frac{1}{x + 2} ((x - 1) (x + 2)) = \frac{7}{10} (10 (x - 1) (x + 2))$

Этап 2.2.1.7

Объединим $10$ и $\frac{1}{x + 2}$ .

$10 x + 20 + \frac{10}{x + 2} ((x - 1) (x + 2)) = \frac{7}{10} (10 (x - 1) (x + 2))$

Этап 2.2.1.8

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.8.1

Вынесем множитель $x + 2$ из $(x - 1) (x + 2)$ .

$10 x + 20 + \frac{10}{x + 2} ((x + 2) (x - 1)) = \frac{7}{10} (10 (x - 1) (x + 2))$

Этап 2.2.1.8.2

Сократим общий множитель.

$10 x + 20 + \frac{10}{x + 2} ((x + 2) (x - 1)) = \frac{7}{10} (10 (x - 1) (x + 2))$

Этап 2.2.1.8.3

Перепишем это выражение.

$10 x + 20 + 10 (x - 1) = \frac{7}{10} (10 (x - 1) (x + 2))$

Этап 2.2.1.9

Применим свойство дистрибутивности.

$10 x + 20 + 10 x + 10 \cdot - 1 = \frac{7}{10} (10 (x - 1) (x + 2))$

Этап 2.2.1.10

Умножим $10$ на $- 1$ .

$10 x + 20 + 10 x - 10 = \frac{7}{10} (10 (x - 1) (x + 2))$

Этап 2.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Добавим $10 x$ и $10 x$ .

$20 x + 20 - 10 = \frac{7}{10} (10 (x - 1) (x + 2))$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $10$ из $20$ .

$20 x + 10 = \frac{7}{10} (10 (x - 1) (x + 2))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $10$ из $10 (x - 1) (x + 2)$ .

$20 x + 10 = \frac{7}{10} (10 ((x - 1) (x + 2)))$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$20 x + 10 = \frac{7}{10} (10 ((x - 1) (x + 2)))$

Этап 2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$20 x + 10 = 7 ((x - 1) (x + 2))$

Этап 2.3.2

Развернем $(x - 1) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$20 x + 10 = 7 (x (x + 2) - 1 (x + 2))$

Этап 2.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$20 x + 10 = 7 (x \cdot x + x \cdot 2 - 1 (x + 2))$

Этап 2.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$20 x + 10 = 7 (x \cdot x + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2)$

Этап 2.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$20 x + 10 = 7 (x^{2} + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2)$

Этап 2.3.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$20 x + 10 = 7 (x^{2} + 2 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 2)$

Этап 2.3.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$20 x + 10 = 7 (x^{2} + 2 x - x - 1 \cdot 2)$

Этап 2.3.3.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$20 x + 10 = 7 (x^{2} + 2 x - x - 2)$

Этап 2.3.3.2

Вычтем $x$ из $2 x$ .

$20 x + 10 = 7 (x^{2} + x - 2)$

Этап 2.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$20 x + 10 = 7 x^{2} + 7 x + 7 \cdot - 2$

Этап 2.3.5

Умножим $7$ на $- 2$ .

$20 x + 10 = 7 x^{2} + 7 x - 14$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$7 x^{2} + 7 x - 14 = 20 x + 10$

Этап 3.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $20 x$ из обеих частей уравнения.

$7 x^{2} + 7 x - 14 - 20 x = 10$

Этап 3.2.2

Вычтем $20 x$ из $7 x$ .

$7 x^{2} - 13 x - 14 = 10$

Этап 3.3

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$7 x^{2} - 13 x - 14 - 10 = 0$

Этап 3.4

Вычтем $10$ из $- 14$ .

$7 x^{2} - 13 x - 24 = 0$

Этап 3.5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 7 \cdot - 24 = - 168$ , а сумма — $b = - 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Вынесем множитель $- 13$ из $- 13 x$ .

$7 x^{2} - 13 x - 24 = 0$

Этап 3.5.1.2

Запишем $- 13$ как $8$ плюс $- 21$

$7 x^{2} + (8 - 21) x - 24 = 0$

Этап 3.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x^{2} + 8 x - 21 x - 24 = 0$

Этап 3.5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(7 x^{2} + 8 x) - 21 x - 24 = 0$

Этап 3.5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (7 x + 8) - 3 (7 x + 8) = 0$

Этап 3.5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $7 x + 8$ .

$(7 x + 8) (x - 3) = 0$

Этап 3.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$7 x + 8 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 3.7

Приравняем $7 x + 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $7 x + 8$ к $0$ .

$7 x + 8 = 0$

Этап 3.7.2

Решим $7 x + 8 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$7 x = - 8$

Этап 3.7.2.2

Разделим каждый член $7 x = - 8$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.1

Разделим каждый член $7 x = - 8$ на $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 8}{7}$

Этап 3.7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 8}{7}$

Этап 3.7.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 8}{7}$

Этап 3.7.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{8}{7}$

Этап 3.8

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 3.8.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 3.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(7 x + 8) (x - 3) = 0$ верно.

$x = - \frac{8}{7}, 3$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{8}{7}, 3$

Десятичная форма:

$x = - 1.\overline{142857}, 3$

Форма смешанных чисел:

$x = - 1 \frac{1}{7}, 3$