Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x + 3} = \frac{10}{x^{2} - 9}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x + 3} = \frac{10}{x^{2} - 3^{2}}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x + 3} = \frac{10}{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x - 3, x + 3, (x + 3) (x - 3)$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $x - 3$ является само значение $x - 3$ .

$(x - 3) = x - 3$

$(x - 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $x + 3$ является само значение $x + 3$ .

$(x + 3) = x + 3$

$(x + 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $x - 3$ является само значение $x - 3$ .

$(x - 3) = x - 3$

$(x - 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

НОК $x - 3, x + 3, x + 3, x - 3$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x - 3) (x + 3)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x + 3} = \frac{10}{(x + 3) (x - 3)}$ умножим на $(x - 3) (x + 3)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x + 3} = \frac{10}{(x + 3) (x - 3)}$ на $(x - 3) (x + 3)$ .

$\frac{1}{x - 3} ((x - 3) (x + 3)) + \frac{1}{x + 3} ((x - 3) (x + 3)) = \frac{10}{(x + 3) (x - 3)} ((x - 3) (x + 3))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x - 3} ((x - 3) (x + 3)) + \frac{1}{x + 3} ((x - 3) (x + 3)) = \frac{10}{(x + 3) (x - 3)} ((x - 3) (x + 3))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x + 3 + \frac{1}{x + 3} ((x - 3) (x + 3)) = \frac{10}{(x + 3) (x - 3)} ((x - 3) (x + 3))$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Вынесем множитель $x + 3$ из $(x - 3) (x + 3)$ .

$x + 3 + \frac{1}{x + 3} ((x + 3) (x - 3)) = \frac{10}{(x + 3) (x - 3)} ((x - 3) (x + 3))$

Этап 3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x + 3 + \frac{1}{x + 3} ((x + 3) (x - 3)) = \frac{10}{(x + 3) (x - 3)} ((x - 3) (x + 3))$

Этап 3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x + 3 + x - 3 = \frac{10}{(x + 3) (x - 3)} ((x - 3) (x + 3))$

Этап 3.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Объединим противоположные члены в $x + 3 + x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Вычтем $3$ из $3$ .

$x + x + 0 = \frac{10}{(x + 3) (x - 3)} ((x - 3) (x + 3))$

Этап 3.2.2.1.2

Добавим $x + x$ и $0$ .

$x + x = \frac{10}{(x + 3) (x - 3)} ((x - 3) (x + 3))$

Этап 3.2.2.2

Добавим $x$ и $x$ .

$2 x = \frac{10}{(x + 3) (x - 3)} ((x - 3) (x + 3))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $(x - 3) (x + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $(x - 3) (x + 3)$ из $(x + 3) (x - 3)$ .

$2 x = \frac{10}{(x - 3) (x + 3) (1)} ((x - 3) (x + 3))$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$2 x = \frac{10}{(x - 3) (x + 3) \cdot 1} ((x - 3) (x + 3))$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$2 x = 10$

Этап 4

Разделим каждый член $2 x = 10$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $2 x = 10$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{10}{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{10}{2}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{10}{2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим $10$ на $2$ .

$x = 5$