Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{x + 4} - \frac{1}{x + 5} = \frac{1}{12}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x + 4, x + 5, 12$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

Простыми множителями $12$ являются $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

У $12$ есть множители: $2$ и $6$ .

$2 \cdot 6$

Этап 1.4.2

У $6$ есть множители: $2$ и $3$ .

$2 \cdot 2 \cdot 3$

Этап 1.5

Умножим $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 \cdot 3$

Этап 1.5.2

Умножим $4$ на $3$ .

$12$

Этап 1.6

Множителем $x + 4$ является само значение $x + 4$ .

$(x + 4) = x + 4$

$(x + 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

Множителем $x + 5$ является само значение $x + 5$ .

$(x + 5) = x + 5$

$(x + 5)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.8

НОК $x + 4, x + 5$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x + 4) (x + 5)$

Этап 1.9

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$12 (x + 4) (x + 5)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{1}{x + 4} - \frac{1}{x + 5} = \frac{1}{12}$ умножим на $12 (x + 4) (x + 5)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{1}{x + 4} - \frac{1}{x + 5} = \frac{1}{12}$ на $12 (x + 4) (x + 5)$ .

$\frac{1}{x + 4} (12 (x + 4) (x + 5)) - \frac{1}{x + 5} (12 (x + 4) (x + 5)) = \frac{1}{12} (12 (x + 4) (x + 5))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$12 \frac{1}{x + 4} ((x + 4) (x + 5)) - \frac{1}{x + 5} (12 (x + 4) (x + 5)) = \frac{1}{12} (12 (x + 4) (x + 5))$

Этап 2.2.1.2

Объединим $12$ и $\frac{1}{x + 4}$ .

$\frac{12}{x + 4} ((x + 4) (x + 5)) - \frac{1}{x + 5} (12 (x + 4) (x + 5)) = \frac{1}{12} (12 (x + 4) (x + 5))$

Этап 2.2.1.3

Сократим общий множитель $x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12}{x + 4} ((x + 4) (x + 5)) - \frac{1}{x + 5} (12 (x + 4) (x + 5)) = \frac{1}{12} (12 (x + 4) (x + 5))$

Этап 2.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$12 (x + 5) - \frac{1}{x + 5} (12 (x + 4) (x + 5)) = \frac{1}{12} (12 (x + 4) (x + 5))$

Этап 2.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$12 x + 12 \cdot 5 - \frac{1}{x + 5} (12 (x + 4) (x + 5)) = \frac{1}{12} (12 (x + 4) (x + 5))$

Этап 2.2.1.5

Умножим $12$ на $5$ .

$12 x + 60 - \frac{1}{x + 5} (12 (x + 4) (x + 5)) = \frac{1}{12} (12 (x + 4) (x + 5))$

Этап 2.2.1.6

Сократим общий множитель $x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x + 5}$ в числитель.

$12 x + 60 + \frac{- 1}{x + 5} (12 (x + 4) (x + 5)) = \frac{1}{12} (12 (x + 4) (x + 5))$

Этап 2.2.1.6.2

Вынесем множитель $x + 5$ из $12 (x + 4) (x + 5)$ .

$12 x + 60 + \frac{- 1}{x + 5} ((x + 5) (12 (x + 4))) = \frac{1}{12} (12 (x + 4) (x + 5))$

Этап 2.2.1.6.3

Сократим общий множитель.

$12 x + 60 + \frac{- 1}{x + 5} ((x + 5) (12 (x + 4))) = \frac{1}{12} (12 (x + 4) (x + 5))$

Этап 2.2.1.6.4

Перепишем это выражение.

$12 x + 60 - (12 (x + 4)) = \frac{1}{12} (12 (x + 4) (x + 5))$

Этап 2.2.1.7

Умножим $12$ на $- 1$ .

$12 x + 60 - 12 (x + 4) = \frac{1}{12} (12 (x + 4) (x + 5))$

Этап 2.2.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$12 x + 60 - 12 x - 12 \cdot 4 = \frac{1}{12} (12 (x + 4) (x + 5))$

Этап 2.2.1.9

Умножим $- 12$ на $4$ .

$12 x + 60 - 12 x - 48 = \frac{1}{12} (12 (x + 4) (x + 5))$

Этап 2.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Объединим противоположные члены в $12 x + 60 - 12 x - 48$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Вычтем $12 x$ из $12 x$ .

$0 + 60 - 48 = \frac{1}{12} (12 (x + 4) (x + 5))$

Этап 2.2.2.1.2

Добавим $0$ и $60$ .

$60 - 48 = \frac{1}{12} (12 (x + 4) (x + 5))$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $48$ из $60$ .

$12 = \frac{1}{12} (12 (x + 4) (x + 5))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $12$ из $12 (x + 4) (x + 5)$ .

$12 = \frac{1}{12} (12 ((x + 4) (x + 5)))$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$12 = \frac{1}{12} (12 ((x + 4) (x + 5)))$

Этап 2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$12 = (x + 4) (x + 5)$

Этап 2.3.2

Развернем $(x + 4) (x + 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$12 = x (x + 5) + 4 (x + 5)$

Этап 2.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$12 = x \cdot x + x \cdot 5 + 4 (x + 5)$

Этап 2.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$12 = x \cdot x + x \cdot 5 + 4 x + 4 \cdot 5$

Этап 2.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$12 = x^{2} + x \cdot 5 + 4 x + 4 \cdot 5$

Этап 2.3.3.1.2

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$12 = x^{2} + 5 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 5$

Этап 2.3.3.1.3

Умножим $4$ на $5$ .

$12 = x^{2} + 5 x + 4 x + 20$

Этап 2.3.3.2

Добавим $5 x$ и $4 x$ .

$12 = x^{2} + 9 x + 20$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} + 9 x + 20 = 12$ .

$x^{2} + 9 x + 20 = 12$

Этап 3.2

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 9 x + 20 - 12 = 0$

Этап 3.3

Вычтем $12$ из $20$ .

$x^{2} + 9 x + 8 = 0$

Этап 3.4

Разложим $x^{2} + 9 x + 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $8$ , а сумма — $9$ .

$1, 8$

Этап 3.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x + 1) (x + 8) = 0$

Этап 3.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 8 = 0$

Этап 3.6

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 3.6.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 3.7

Приравняем $x + 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $x + 8$ к $0$ .

$x + 8 = 0$

Этап 3.7.2

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$x = - 8$

Этап 3.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 1) (x + 8) = 0$ верно.

$x = - 1, - 8$