Основы мат. анализа Примеры

$25^{x} + 5^{x + 1} - 84 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $5^{x + 1}$ в виде $5^{x} \cdot 5^{1}$ .

$25^{x} + 5^{x} \cdot 5 - 84 = 0$

Этап 1.2

Перепишем $25^{x}$ в виде ${(5^{2})}^{x}$ .

${(5^{2})}^{x} + 5^{x} \cdot 5 - 84 = 0$

Этап 1.3

Перепишем ${(5^{2})}^{x}$ в виде ${(5^{x})}^{2}$ .

${(5^{x})}^{2} + 5^{x} \cdot 5 - 84 = 0$

Этап 1.4

Пусть $u = 5^{x}$ . Подставим $u$ вместо $5^{x}$ для всех.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем экспоненту.

$u^{2} + u \cdot 5 - 84 = 0$

Этап 1.4.2

Перенесем $5$ влево от $u$ .

$u^{2} + 5 u - 84 = 0$

Этап 1.5

Разложим $u^{2} + 5 u - 84$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 84$ , а сумма — $5$ .

$- 7, 12$

Этап 1.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 7) (u + 12) = 0$

Этап 1.6

Заменим все вхождения $u$ на $5^{x}$ .

$(5^{x} - 7) (5^{x} + 12) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$5^{x} - 7 = 0$

$5^{x} + 12 = 0$

Этап 3

Приравняем $5^{x} - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $5^{x} - 7$ к $0$ .

$5^{x} - 7 = 0$

Этап 3.2

Решим $5^{x} - 7 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$5^{x} = 7$

Этап 3.2.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (5^{x}) = \ln (7)$

Этап 3.2.3

Развернем $\ln (5^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (5) = \ln (7)$

Этап 3.2.4

Разделим каждый член $x \ln (5) = \ln (7)$ на $\ln (5)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Разделим каждый член $x \ln (5) = \ln (7)$ на $\ln (5)$ .

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (7)}{\ln (5)}$

Этап 3.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1

Сократим общий множитель $\ln (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (7)}{\ln (5)}$

Этап 3.2.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\ln (7)}{\ln (5)}$

Этап 4

Приравняем $5^{x} + 12$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $5^{x} + 12$ к $0$ .

$5^{x} + 12 = 0$

Этап 4.2

Решим $5^{x} + 12 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$5^{x} = - 12$

Этап 4.2.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (5^{x}) = \ln (- 12)$

Этап 4.2.3

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (- 12)$ не определено.

Неопределенные

Этап 4.2.4

Нет решения для $5^{x} = - 12$

Нет решения

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(5^{x} - 7) (5^{x} + 12) = 0$ верно.

$x = \frac{\ln (7)}{\ln (5)}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{\ln (7)}{\ln (5)}$

Десятичная форма:

$x = 1.20906195 \dots$