Основы мат. анализа Примеры

$\frac{2 x}{x + 2} + \frac{5}{x - 5} = \frac{8}{x^{2} - 3 x - 10}$

Этап 1

Разложим $x^{2} - 3 x - 10$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 10$ , а сумма — $- 3$ .

$- 5, 2$

Этап 1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{2 x}{x + 2} + \frac{5}{x - 5} = \frac{8}{(x - 5) (x + 2)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x + 2, x - 5, (x - 5) (x + 2)$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $x + 2$ является само значение $x + 2$ .

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $x - 5$ является само значение $x - 5$ .

$(x - 5) = x - 5$

$(x - 5)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $x + 2$ является само значение $x + 2$ .

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

НОК $x + 2, x - 5, x - 5, x + 2$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x + 2) (x - 5)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{2 x}{x + 2} + \frac{5}{x - 5} = \frac{8}{(x - 5) (x + 2)}$ умножим на $(x + 2) (x - 5)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{2 x}{x + 2} + \frac{5}{x - 5} = \frac{8}{(x - 5) (x + 2)}$ на $(x + 2) (x - 5)$ .

$\frac{2 x}{x + 2} ((x + 2) (x - 5)) + \frac{5}{x - 5} ((x + 2) (x - 5)) = \frac{8}{(x - 5) (x + 2)} ((x + 2) (x - 5))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{x + 2} ((x + 2) (x - 5)) + \frac{5}{x - 5} ((x + 2) (x - 5)) = \frac{8}{(x - 5) (x + 2)} ((x + 2) (x - 5))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$2 x (x - 5) + \frac{5}{x - 5} ((x + 2) (x - 5)) = \frac{8}{(x - 5) (x + 2)} ((x + 2) (x - 5))$

Этап 3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 + \frac{5}{x - 5} ((x + 2) (x - 5)) = \frac{8}{(x - 5) (x + 2)} ((x + 2) (x - 5))$

Этап 3.2.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Перенесем $x$ .

$2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 5 + \frac{5}{x - 5} ((x + 2) (x - 5)) = \frac{8}{(x - 5) (x + 2)} ((x + 2) (x - 5))$

Этап 3.2.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x^{2} + 2 x \cdot - 5 + \frac{5}{x - 5} ((x + 2) (x - 5)) = \frac{8}{(x - 5) (x + 2)} ((x + 2) (x - 5))$

Этап 3.2.1.4

Умножим $- 5$ на $2$ .

$2 x^{2} - 10 x + \frac{5}{x - 5} ((x + 2) (x - 5)) = \frac{8}{(x - 5) (x + 2)} ((x + 2) (x - 5))$

Этап 3.2.1.5

Сократим общий множитель $x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Вынесем множитель $x - 5$ из $(x + 2) (x - 5)$ .

$2 x^{2} - 10 x + \frac{5}{x - 5} ((x - 5) (x + 2)) = \frac{8}{(x - 5) (x + 2)} ((x + 2) (x - 5))$

Этап 3.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$2 x^{2} - 10 x + \frac{5}{x - 5} ((x - 5) (x + 2)) = \frac{8}{(x - 5) (x + 2)} ((x + 2) (x - 5))$

Этап 3.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$2 x^{2} - 10 x + 5 (x + 2) = \frac{8}{(x - 5) (x + 2)} ((x + 2) (x - 5))$

Этап 3.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - 10 x + 5 x + 5 \cdot 2 = \frac{8}{(x - 5) (x + 2)} ((x + 2) (x - 5))$

Этап 3.2.1.7

Умножим $5$ на $2$ .

$2 x^{2} - 10 x + 5 x + 10 = \frac{8}{(x - 5) (x + 2)} ((x + 2) (x - 5))$

Этап 3.2.2

Добавим $- 10 x$ и $5 x$ .

$2 x^{2} - 5 x + 10 = \frac{8}{(x - 5) (x + 2)} ((x + 2) (x - 5))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $(x + 2) (x - 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $(x + 2) (x - 5)$ из $(x - 5) (x + 2)$ .

$2 x^{2} - 5 x + 10 = \frac{8}{(x + 2) (x - 5) (1)} ((x + 2) (x - 5))$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$2 x^{2} - 5 x + 10 = \frac{8}{(x + 2) (x - 5) \cdot 1} ((x + 2) (x - 5))$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$2 x^{2} - 5 x + 10 = 8$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} - 5 x + 10 - 8 = 0$

Этап 4.2

Вычтем $8$ из $10$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Этап 4.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ , а сумма — $b = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 x$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

Этап 4.3.1.2

Запишем $- 5$ как $- 1$ плюс $- 4$

$2 x^{2} + (- 1 - 4) x + 2 = 0$

Этап 4.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - 1 x - 4 x + 2 = 0$

Этап 4.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 x^{2} - 1 x) - 4 x + 2 = 0$

Этап 4.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (2 x - 1) - 2 (2 x - 1) = 0$

Этап 4.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 1$ .

$(2 x - 1) (x - 2) = 0$

Этап 4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 4.5

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Этап 4.5.2

Решим $2 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 4.5.2.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 4.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 4.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 4.6

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 4.6.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x - 1) (x - 2) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{2}, 2$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{1}{2}, 2$

Десятичная форма:

$x = 0.5, 2$