Основы мат. анализа Примеры

$\tan (x) + \cot (x) = \sec (x) \csc (x)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x) = \sec (x) \csc (x)$

Этап 1.1.2

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sec (x) \csc (x)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\sec (x) \csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \frac{1}{\cos (x)} \csc (x)$

Этап 2.1.2

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 2.1.3

Умножим $\frac{1}{\cos (x)}$ на $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 3

Умножим обе части уравнения на $\cos (x)$ .

$\cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 4

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 5

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель.

$\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 5.2

Перепишем это выражение.

$\sin (x) + \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 6

Умножим $\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\sin (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 6.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\sin (x) + \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 6.3

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\sin (x) + \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (x) + \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 7

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos (x) \sin (x)$ .

$\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x) (\sin (x))}$

Этап 7.2

Сократим общий множитель.

$\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 7.3

Перепишем это выражение.

$\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 8

Вычтем $\frac{1}{\sin (x)}$ из обеих частей уравнения.

$\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} = 0$

Этап 9

Упростим $\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x) - 1}{\sin (x)} = 0$

Этап 9.2

Изменим порядок $\cos^{2} (x)$ и $- 1$ .

$\sin (x) + \frac{- 1 + \cos^{2} (x)}{\sin (x)} = 0$

Этап 9.3

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\sin (x) + \frac{- 1 (1) + \cos^{2} (x)}{\sin (x)} = 0$

Этап 9.4

Вынесем множитель $- 1$ из $\cos^{2} (x)$ .

$\sin (x) + \frac{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))}{\sin (x)} = 0$

Этап 9.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$\sin (x) + \frac{- 1 (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)} = 0$

Этап 9.6

Перепишем $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ в виде $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$\sin (x) + \frac{- (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)} = 0$

Этап 9.7

Применим формулу Пифагора.

$\sin (x) + \frac{- \sin^{2} (x)}{\sin (x)} = 0$

Этап 9.8

Сократим общий множитель $\sin^{2} (x)$ и $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.8.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $- \sin^{2} (x)$ .

$\sin (x) + \frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x)} = 0$

Этап 9.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.8.2.1

Умножим на $1$ .

$\sin (x) + \frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1} = 0$

Этап 9.8.2.2

Сократим общий множитель.

$\sin (x) + \frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1} = 0$

Этап 9.8.2.3

Перепишем это выражение.

$\sin (x) + \frac{- \sin (x)}{1} = 0$

Этап 9.8.2.4

Разделим $- \sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) - \sin (x) = 0$

Этап 9.9

Вычтем $\sin (x)$ из $\sin (x)$ .

$0 = 0$

Этап 10

Поскольку $0 = 0$ , это уравнение всегда будет истинным для любого значения $x$ .

Все вещественные числа

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Все вещественные числа

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$