Основы мат. анализа Примеры

$\tan^{2} (x) - 2 \sec (x) = 2$

Этап 1

Заменим $\tan^{2} (x)$ на $\sec^{2} (x) - 1$ на основе тождества $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(\sec^{2} (x) - 1) - 2 \sec (x) = 2$

Этап 2

Упорядочим многочлен.

$\sec^{2} (x) - 2 \sec (x) - 1 = 2$

Этап 3

Подставим $u$ вместо $\sec (x)$ .

${(u)}^{2} - 2 u - 1 = 2$

Этап 4

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$u^{2} - 2 u - 1 - 2 = 0$

Этап 5

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$u^{2} - 2 u - 3 = 0$

Этап 6

Разложим $u^{2} - 2 u - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $- 2$ .

$- 3, 1$

Этап 6.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 3) (u + 1) = 0$

Этап 7

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 3 = 0$

$u + 1 = 0$

Этап 8

Приравняем $u - 3$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $u - 3$ к $0$ .

$u - 3 = 0$

Этап 8.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$u = 3$

Этап 9

Приравняем $u + 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Приравняем $u + 1$ к $0$ .

$u + 1 = 0$

Этап 9.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$u = - 1$

Этап 10

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 3) (u + 1) = 0$ верно.

$u = 3, - 1$

Этап 11

Подставим $\sec (x)$ вместо $u$ .

$\sec (x) = 3, - 1$

Этап 12

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sec (x) = 3$

$\sec (x) = - 1$

Этап 13

Решим относительно $x$ в $\sec (x) = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака секанса.

$x = arcsec (3)$

Этап 13.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Найдем значение $arcsec (3)$ .

$x = 1.23095941$

Этап 13.3

Функция секанса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 (3.14159265) - 1.23095941$

Этап 13.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Избавимся от скобок.

$x = 2 (3.14159265) - 1.23095941$

Этап 13.4.2

Упростим $2 (3.14159265) - 1.23095941$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.1

Умножим $2$ на $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.23095941$

Этап 13.4.2.2

Вычтем $1.23095941$ из $6.2831853$ .

$x = 5.05222588$

Этап 13.5

Найдем период $\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 13.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 13.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 13.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 13.6

Период функции $\sec (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 14

Решим относительно $x$ в $\sec (x) = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака секанса.

$x = arcsec (- 1)$

Этап 14.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Точное значение $arcsec (- 1)$ : $π$ .

$x = π$

Этап 14.3

Функция секанса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - π$

Этап 14.4

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = π$

Этап 14.5

Найдем период $\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 14.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 14.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 14.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 14.6

Период функции $\sec (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 15

Перечислим все решения.

$x = 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$