Основы мат. анализа Примеры

$3 \cos (x) + 3 = 2 \sin^{2} (x)$

Этап 1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$3 \cos (x) = 2 \sin^{2} (x) - 3$

Этап 2

Возведем в квадрат обе части уравнения.

${(3 \cos (x))}^{2} = {(2 \sin^{2} (x) - 3)}^{2}$

Этап 3

Упростим ${(3 \cos (x))}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило умножения к $3 \cos (x)$ .

$3^{2} \cos^{2} (x) = {(2 \sin^{2} (x) - 3)}^{2}$

Этап 3.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$9 \cos^{2} (x) = {(2 \sin^{2} (x) - 3)}^{2}$

Этап 4

Упростим ${(2 \sin^{2} (x) - 3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем ${(2 \sin^{2} (x) - 3)}^{2}$ в виде $(2 \sin^{2} (x) - 3) (2 \sin^{2} (x) - 3)$ .

$9 \cos^{2} (x) = (2 \sin^{2} (x) - 3) (2 \sin^{2} (x) - 3)$

Этап 4.2

Развернем $(2 \sin^{2} (x) - 3) (2 \sin^{2} (x) - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$9 \cos^{2} (x) = 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x) - 3) - 3 (2 \sin^{2} (x) - 3)$

Этап 4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$9 \cos^{2} (x) = 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x)) + 2 \sin^{2} (x) \cdot - 3 - 3 (2 \sin^{2} (x) - 3)$

Этап 4.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$9 \cos^{2} (x) = 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x)) + 2 \sin^{2} (x) \cdot - 3 - 3 (2 \sin^{2} (x)) - 3 \cdot - 3$

Этап 4.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$9 \cos^{2} (x) = 2 \cdot 2 \sin^{2} (x) \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) \cdot - 3 - 3 (2 \sin^{2} (x)) - 3 \cdot - 3$

Этап 4.3.1.2

Умножим $\sin^{2} (x)$ на $\sin^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Перенесем $\sin^{2} (x)$ .

$9 \cos^{2} (x) = 2 \cdot 2 (\sin^{2} (x) \sin^{2} (x)) + 2 \sin^{2} (x) \cdot - 3 - 3 (2 \sin^{2} (x)) - 3 \cdot - 3$

Этап 4.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$9 \cos^{2} (x) = 2 \cdot 2 {\sin (x)}^{2 + 2} + 2 \sin^{2} (x) \cdot - 3 - 3 (2 \sin^{2} (x)) - 3 \cdot - 3$

Этап 4.3.1.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$9 \cos^{2} (x) = 2 \cdot 2 \sin^{4} (x) + 2 \sin^{2} (x) \cdot - 3 - 3 (2 \sin^{2} (x)) - 3 \cdot - 3$

Этап 4.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$9 \cos^{2} (x) = 4 \sin^{4} (x) + 2 \sin^{2} (x) \cdot - 3 - 3 (2 \sin^{2} (x)) - 3 \cdot - 3$

Этап 4.3.1.4

Умножим $- 3$ на $2$ .

$9 \cos^{2} (x) = 4 \sin^{4} (x) - 6 \sin^{2} (x) - 3 (2 \sin^{2} (x)) - 3 \cdot - 3$

Этап 4.3.1.5

Умножим $2$ на $- 3$ .

$9 \cos^{2} (x) = 4 \sin^{4} (x) - 6 \sin^{2} (x) - 6 \sin^{2} (x) - 3 \cdot - 3$

Этап 4.3.1.6

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$9 \cos^{2} (x) = 4 \sin^{4} (x) - 6 \sin^{2} (x) - 6 \sin^{2} (x) + 9$

Этап 4.3.2

Вычтем $6 \sin^{2} (x)$ из $- 6 \sin^{2} (x)$ .

$9 \cos^{2} (x) = 4 \sin^{4} (x) - 12 \sin^{2} (x) + 9$

Этап 5

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $4 \sin^{4} (x)$ из обеих частей уравнения.

$9 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x) = - 12 \sin^{2} (x) + 9$

Этап 5.2

Добавим $12 \sin^{2} (x)$ к обеим частям уравнения.

$9 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x) + 12 \sin^{2} (x) = 9$

Этап 5.3

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$9 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x) + 12 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Этап 6

Упростим $9 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x) + 12 \sin^{2} (x) - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перенесем $- 9$ .

$9 \cos^{2} (x) - 9 - 4 \sin^{4} (x) + 12 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 6.2

Изменим порядок $9 \cos^{2} (x)$ и $- 9$ .

$- 9 + 9 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x) + 12 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 6.3

Вынесем множитель $- 9$ из $- 9$ .

$- 9 (1) + 9 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x) + 12 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 6.4

Вынесем множитель $- 9$ из $9 \cos^{2} (x)$ .

$- 9 (1) - 9 (- \cos^{2} (x)) - 4 \sin^{4} (x) + 12 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 6.5

Вынесем множитель $- 9$ из $- 9 (1) - 9 (- \cos^{2} (x))$ .

$- 9 (1 - \cos^{2} (x)) - 4 \sin^{4} (x) + 12 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 6.6

Применим формулу Пифагора.

$- 9 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x) + 12 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 6.7

Добавим $- 9 \sin^{2} (x)$ и $12 \sin^{2} (x)$ .

$3 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x) = 0$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Перепишем $\sin^{4} (x)$ в виде ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ .

$3 \sin^{2} (x) - 4 {(\sin^{2} (x))}^{2} = 0$

Этап 7.1.2

Пусть $u = \sin^{2} (x)$ . Подставим $u$ вместо $\sin^{2} (x)$ для всех.

$3 u - 4 u^{2} = 0$

Этап 7.1.3

Вынесем множитель $u$ из $3 u - 4 u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Вынесем множитель $u$ из $3 u$ .

$u \cdot 3 - 4 u^{2} = 0$

Этап 7.1.3.2

Вынесем множитель $u$ из $- 4 u^{2}$ .

$u \cdot 3 + u (- 4 u) = 0$

Этап 7.1.3.3

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot 3 + u (- 4 u)$ .

$u (3 - 4 u) = 0$

Этап 7.1.4

Заменим все вхождения $u$ на $\sin^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) (3 - 4 \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 7.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin^{2} (x) = 0$

$3 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 7.3

Приравняем $\sin^{2} (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Приравняем $\sin^{2} (x)$ к $0$ .

$\sin^{2} (x) = 0$

Этап 7.3.2

Решим $\sin^{2} (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{0}$

Этап 7.3.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 7.3.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\sin (x) = \pm 0$

Этап 7.3.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 7.3.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 7.3.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.4.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 7.3.2.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 7.3.2.6

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 7.3.2.7

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.3.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 7.3.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 7.3.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 7.3.2.8

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7.4

Приравняем $3 - 4 \sin^{2} (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Приравняем $3 - 4 \sin^{2} (x)$ к $0$ .

$3 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 7.4.2

Решим $3 - 4 \sin^{2} (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- 4 \sin^{2} (x) = - 3$

Этап 7.4.2.2

Разделим каждый член $- 4 \sin^{2} (x) = - 3$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.2.1

Разделим каждый член $- 4 \sin^{2} (x) = - 3$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 \sin^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Этап 7.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 \sin^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Этап 7.4.2.2.2.1.2

Разделим $\sin^{2} (x)$ на $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3}{- 4}$

Этап 7.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\sin^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Этап 7.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Этап 7.4.2.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{3}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Этап 7.4.2.4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.4.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 7.4.2.4.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 7.4.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 7.4.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 7.4.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 7.4.2.6

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 7.4.2.7

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.7.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 7.4.2.7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.7.2.1

Точное значение $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ : $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Этап 7.4.2.7.3

$x = π - \frac{π}{3}$

Этап 7.4.2.7.4

Упростим $π - \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.7.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 7.4.2.7.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.7.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 7.4.2.7.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 7.4.2.7.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.7.4.3.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Этап 7.4.2.7.4.3.2

Вычтем $π$ из $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Этап 7.4.2.7.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.7.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.4.2.7.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 7.4.2.7.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 7.4.2.7.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 7.4.2.7.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7.4.2.8

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.8.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 7.4.2.8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.8.2.1

Точное значение $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ : $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Этап 7.4.2.8.3

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Этап 7.4.2.8.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.8.4.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Этап 7.4.2.8.4.2

Результирующий угол $\frac{4 π}{3}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{3} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{4 π}{3}$

Этап 7.4.2.8.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.8.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.4.2.8.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 7.4.2.8.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 7.4.2.8.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 7.4.2.8.6

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.8.6.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{3}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Этап 7.4.2.8.6.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 7.4.2.8.6.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.8.6.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 7.4.2.8.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 7.4.2.8.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.8.6.4.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Этап 7.4.2.8.6.4.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Этап 7.4.2.8.6.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{5 π}{3}$

Этап 7.4.2.8.7

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7.4.2.9

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7.4.2.10

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.10.1

Объединим $\frac{π}{3} + 2 π n$ и $\frac{4 π}{3} + 2 π n$ в $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7.4.2.10.2

Объединим $\frac{2 π}{3} + 2 π n$ и $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ в $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 7.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $\sin^{2} (x) (3 - 4 \sin^{2} (x)) = 0$ верно.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Объединим ответы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $2 π n$ и $π + 2 π n$ в $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 8.2

Объединим ответы.

$x = \frac{π n}{3}$ , для любого целого $n$

Этап 9

Проверим каждое решение, подставив его в $3 \cos (x) + 3 = 2 \sin^{2} (x)$ и решив.

$x = \frac{2 π}{3} + \frac{π n}{3}$ , для любого целого $n$