Основы мат. анализа Примеры

$4 \sin^{2} (x) + 11 \sin (x) + 7 = 0$

Этап 1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot 7 = 28$ , а сумма — $b = 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $11$ из $11 \sin (x)$ .

$4 \sin^{2} (x) + 11 \sin (x) + 7 = 0$

Этап 1.1.2

Запишем $11$ как $4$ плюс $7$

$4 \sin^{2} (x) + (4 + 7) \sin (x) + 7 = 0$

Этап 1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \sin^{2} (x) + 4 \sin (x) + 7 \sin (x) + 7 = 0$

Этап 1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$4 \sin^{2} (x) + 4 \sin (x) + 7 \sin (x) + 7 = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$4 \sin (x) (\sin (x) + 1) + 7 (\sin (x) + 1) = 0$

Этап 1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $\sin (x) + 1$ .

$(\sin (x) + 1) (4 \sin (x) + 7) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

$4 \sin (x) + 7 = 0$

Этап 3

Приравняем $\sin (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $\sin (x) + 1$ к $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Этап 3.2

Решим $\sin (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sin (x) = - 1$

Этап 3.2.2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- 1)$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Точное значение $\arcsin (- 1)$ : $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Этап 3.2.4

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Этап 3.2.5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Этап 3.2.5.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{2}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{2} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 3.2.6

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.2.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.2.7

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{2}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Этап 3.2.7.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 3.2.7.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 3.2.7.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 3.2.7.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Этап 3.2.7.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Этап 3.2.7.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 3.2.8

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Приравняем $4 \sin (x) + 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $4 \sin (x) + 7$ к $0$ .

$4 \sin (x) + 7 = 0$

Этап 4.2

Решим $4 \sin (x) + 7 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$4 \sin (x) = - 7$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член $4 \sin (x) = - 7$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член $4 \sin (x) = - 7$ на $4$ .

$\frac{4 \sin (x)}{4} = \frac{- 7}{4}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \sin (x)}{4} = \frac{- 7}{4}$

Этап 4.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 7}{4}$

Этап 4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (x) = - \frac{7}{4}$

Этап 4.2.3

Множество значений синуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $- \frac{7}{4}$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(\sin (x) + 1) (4 \sin (x) + 7) = 0$ верно.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$