Основы мат. анализа Примеры

$x^{5} - 81 x = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{5} - 81 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} - 81 x = 0$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 81 x$ .

$x \cdot x^{4} + x \cdot - 81 = 0$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{4} + x \cdot - 81$ .

$x (x^{4} - 81) = 0$

Этап 1.2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - 81) = 0$

Этап 1.3

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - 9^{2}) = 0$

Этап 1.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x^{2}$ и $b = 9$ .

$x ((x^{2} + 9) (x^{2} - 9)) = 0$

Этап 1.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x ((x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2})) = 0$

Этап 1.5.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.2.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$x ((x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3))) = 0$

Этап 1.5.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x ((x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)) = 0$

Этап 1.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 4

Приравняем $x^{2} + 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x^{2} + 9$ к $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Этап 4.2

Решим $x^{2} + 9 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 9$

Этап 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Этап 4.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Перепишем $- 9$ в виде $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Этап 4.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (9)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Этап 4.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Этап 4.2.3.4

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Этап 4.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \cdot 3$

Этап 4.2.3.6

Перенесем $3$ влево от $i$ .

$x = \pm 3 i$

Этап 4.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3 i$

Этап 4.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3 i$

Этап 4.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3 i, - 3 i$

Этап 5

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 6

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 6.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$ верно.

$x = 0, 3 i, - 3 i, - 3, 3$