Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x - 1}{x - 2} + \frac{3 x + 6}{2 x + 1} = 3$

Этап 1

Вынесем множитель $3$ из $3 x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{x - 1}{x - 2} + \frac{3 (x) + 6}{2 x + 1} = 3$

Этап 1.2

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{x - 1}{x - 2} + \frac{3 x + 3 \cdot 2}{2 x + 1} = 3$

Этап 1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 x + 3 \cdot 2$ .

$\frac{x - 1}{x - 2} + \frac{3 (x + 2)}{2 x + 1} = 3$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x - 2, 2 x + 1, 1$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $x - 2$ является само значение $x - 2$ .

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $2 x + 1$ является само значение $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) = 2 x + 1$

$(2 x + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

НОК $x - 2, 2 x + 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x - 2) (2 x + 1)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{x - 1}{x - 2} + \frac{3 (x + 2)}{2 x + 1} = 3$ умножим на $(x - 2) (2 x + 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{x - 1}{x - 2} + \frac{3 (x + 2)}{2 x + 1} = 3$ на $(x - 2) (2 x + 1)$ .

$\frac{x - 1}{x - 2} ((x - 2) (2 x + 1)) + \frac{3 (x + 2)}{2 x + 1} ((x - 2) (2 x + 1)) = 3 ((x - 2) (2 x + 1))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x - 1}{x - 2} ((x - 2) (2 x + 1)) + \frac{3 (x + 2)}{2 x + 1} ((x - 2) (2 x + 1)) = 3 ((x - 2) (2 x + 1))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$(x - 1) (2 x + 1) + \frac{3 (x + 2)}{2 x + 1} ((x - 2) (2 x + 1)) = 3 ((x - 2) (2 x + 1))$

Этап 3.2.1.2

Развернем $(x - 1) (2 x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (2 x + 1) - 1 (2 x + 1) + \frac{3 (x + 2)}{2 x + 1} ((x - 2) (2 x + 1)) = 3 ((x - 2) (2 x + 1))$

Этап 3.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x (2 x) + x \cdot 1 - 1 (2 x + 1) + \frac{3 (x + 2)}{2 x + 1} ((x - 2) (2 x + 1)) = 3 ((x - 2) (2 x + 1))$

Этап 3.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x (2 x) + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1 + \frac{3 (x + 2)}{2 x + 1} ((x - 2) (2 x + 1)) = 3 ((x - 2) (2 x + 1))$

Этап 3.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1 + \frac{3 (x + 2)}{2 x + 1} ((x - 2) (2 x + 1)) = 3 ((x - 2) (2 x + 1))$

Этап 3.2.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$2 (x \cdot x) + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1 + \frac{3 (x + 2)}{2 x + 1} ((x - 2) (2 x + 1)) = 3 ((x - 2) (2 x + 1))$

Этап 3.2.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x^{2} + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1 + \frac{3 (x + 2)}{2 x + 1} ((x - 2) (2 x + 1)) = 3 ((x - 2) (2 x + 1))$

Этап 3.2.1.3.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$2 x^{2} + x - 1 (2 x) - 1 \cdot 1 + \frac{3 (x + 2)}{2 x + 1} ((x - 2) (2 x + 1)) = 3 ((x - 2) (2 x + 1))$

Этап 3.2.1.3.1.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 x^{2} + x - 2 x - 1 \cdot 1 + \frac{3 (x + 2)}{2 x + 1} ((x - 2) (2 x + 1)) = 3 ((x - 2) (2 x + 1))$

Этап 3.2.1.3.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 x^{2} + x - 2 x - 1 + \frac{3 (x + 2)}{2 x + 1} ((x - 2) (2 x + 1)) = 3 ((x - 2) (2 x + 1))$

Этап 3.2.1.3.2

Вычтем $2 x$ из $x$ .

$2 x^{2} - x - 1 + \frac{3 (x + 2)}{2 x + 1} ((x - 2) (2 x + 1)) = 3 ((x - 2) (2 x + 1))$

Этап 3.2.1.4

Сократим общий множитель $2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Вынесем множитель $2 x + 1$ из $(x - 2) (2 x + 1)$ .

$2 x^{2} - x - 1 + \frac{3 (x + 2)}{2 x + 1} ((2 x + 1) (x - 2)) = 3 ((x - 2) (2 x + 1))$

Этап 3.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$2 x^{2} - x - 1 + \frac{3 (x + 2)}{2 x + 1} ((2 x + 1) (x - 2)) = 3 ((x - 2) (2 x + 1))$

Этап 3.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$2 x^{2} - x - 1 + 3 (x + 2) (x - 2) = 3 ((x - 2) (2 x + 1))$

Этап 3.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - x - 1 + (3 x + 3 \cdot 2) (x - 2) = 3 ((x - 2) (2 x + 1))$

Этап 3.2.1.6

Умножим $3$ на $2$ .

$2 x^{2} - x - 1 + (3 x + 6) (x - 2) = 3 ((x - 2) (2 x + 1))$

Этап 3.2.1.7

Развернем $(3 x + 6) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - x - 1 + 3 x (x - 2) + 6 (x - 2) = 3 ((x - 2) (2 x + 1))$

Этап 3.2.1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - x - 1 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 2 + 6 (x - 2) = 3 ((x - 2) (2 x + 1))$

Этап 3.2.1.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - x - 1 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 2 + 6 x + 6 \cdot - 2 = 3 ((x - 2) (2 x + 1))$

Этап 3.2.1.8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.8.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.8.1.1.1

Перенесем $x$ .

$2 x^{2} - x - 1 + 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 2 + 6 x + 6 \cdot - 2 = 3 ((x - 2) (2 x + 1))$

Этап 3.2.1.8.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x^{2} - x - 1 + 3 x^{2} + 3 x \cdot - 2 + 6 x + 6 \cdot - 2 = 3 ((x - 2) (2 x + 1))$

Этап 3.2.1.8.1.2

Умножим $- 2$ на $3$ .

$2 x^{2} - x - 1 + 3 x^{2} - 6 x + 6 x + 6 \cdot - 2 = 3 ((x - 2) (2 x + 1))$

Этап 3.2.1.8.1.3

Умножим $6$ на $- 2$ .

$2 x^{2} - x - 1 + 3 x^{2} - 6 x + 6 x - 12 = 3 ((x - 2) (2 x + 1))$

Этап 3.2.1.8.2

Добавим $- 6 x$ и $6 x$ .

$2 x^{2} - x - 1 + 3 x^{2} + 0 - 12 = 3 ((x - 2) (2 x + 1))$

Этап 3.2.1.8.3

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$2 x^{2} - x - 1 + 3 x^{2} - 12 = 3 ((x - 2) (2 x + 1))$

Этап 3.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Добавим $2 x^{2}$ и $3 x^{2}$ .

$5 x^{2} - x - 1 - 12 = 3 ((x - 2) (2 x + 1))$

Этап 3.2.2.2

Вычтем $12$ из $- 1$ .

$5 x^{2} - x - 13 = 3 ((x - 2) (2 x + 1))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Развернем $(x - 2) (2 x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} - x - 13 = 3 (x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1))$

Этап 3.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} - x - 13 = 3 (x (2 x) + x \cdot 1 - 2 (2 x + 1))$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} - x - 13 = 3 (x (2 x) + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1)$

Этап 3.3.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 x^{2} - x - 13 = 3 (2 x \cdot x + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1)$

Этап 3.3.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.2.1

Перенесем $x$ .

$5 x^{2} - x - 13 = 3 (2 (x \cdot x) + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1)$

Этап 3.3.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$5 x^{2} - x - 13 = 3 (2 x^{2} + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1)$

Этап 3.3.2.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$5 x^{2} - x - 13 = 3 (2 x^{2} + x - 2 (2 x) - 2 \cdot 1)$

Этап 3.3.2.1.4

Умножим $2$ на $- 2$ .

$5 x^{2} - x - 13 = 3 (2 x^{2} + x - 4 x - 2 \cdot 1)$

Этап 3.3.2.1.5

Умножим $- 2$ на $1$ .

$5 x^{2} - x - 13 = 3 (2 x^{2} + x - 4 x - 2)$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $4 x$ из $x$ .

$5 x^{2} - x - 13 = 3 (2 x^{2} - 3 x - 2)$

Этап 3.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} - x - 13 = 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot - 2$

Этап 3.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Умножим $2$ на $3$ .

$5 x^{2} - x - 13 = 6 x^{2} + 3 (- 3 x) + 3 \cdot - 2$

Этап 3.3.4.2

Умножим $- 3$ на $3$ .

$5 x^{2} - x - 13 = 6 x^{2} - 9 x + 3 \cdot - 2$

Этап 3.3.4.3

Умножим $3$ на $- 2$ .

$5 x^{2} - x - 13 = 6 x^{2} - 9 x - 6$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $6 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$5 x^{2} - x - 13 - 6 x^{2} = - 9 x - 6$

Этап 4.1.2

Добавим $9 x$ к обеим частям уравнения.

$5 x^{2} - x - 13 - 6 x^{2} + 9 x = - 6$

Этап 4.1.3

Вычтем $6 x^{2}$ из $5 x^{2}$ .

$- x^{2} - x - 13 + 9 x = - 6$

Этап 4.1.4

Добавим $- x$ и $9 x$ .

$- x^{2} + 8 x - 13 = - 6$

Этап 4.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$- x^{2} + 8 x - 13 + 6 = 0$

Этап 4.3

Добавим $- 13$ и $6$ .

$- x^{2} + 8 x - 7 = 0$

Этап 4.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2} + 8 x - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 8 x - 7 = 0$

Этап 4.4.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $8 x$ .

$- (x^{2}) - (- 8 x) - 7 = 0$

Этап 4.4.1.3

Перепишем $- 7$ в виде $- 1 (7)$ .

$- (x^{2}) - (- 8 x) - 1 \cdot 7 = 0$

Этап 4.4.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (- 8 x)$ .

$- (x^{2} - 8 x) - 1 \cdot 7 = 0$

Этап 4.4.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - 8 x) - 1 (7)$ .

$- (x^{2} - 8 x + 7) = 0$

Этап 4.4.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Разложим $x^{2} - 8 x + 7$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $7$ , а сумма — $- 8$ .

$- 7, - 1$

Этап 4.4.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x - 7) (x - 1)) = 0$

Этап 4.4.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 7) (x - 1) = 0$

Этап 4.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 4.6

Приравняем $x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $x - 7$ к $0$ .

$x - 7 = 0$

Этап 4.6.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 4.7

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 4.7.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 4.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 7) (x - 1) = 0$ верно.

$x = 7, 1$