Основы мат. анализа Примеры

$\sqrt{2 \sqrt{7 x + 2}} = \sqrt{4 x + 2}$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{2 \sqrt{7 x + 2}}}^{2} = {\sqrt{4 x + 2}}^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 \sqrt{7 x + 2}}$ в виде ${(2 \sqrt{7 x + 2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 \sqrt{7 x + 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt{4 x + 2}}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(2 \sqrt{7 x + 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(2 \sqrt{7 x + 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 \sqrt{7 x + 2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{4 x + 2}}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(2 \sqrt{7 x + 2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{4 x + 2}}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(2 \sqrt{7 x + 2})}^{1} = {\sqrt{4 x + 2}}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$2 \sqrt{7 x + 2} = {\sqrt{4 x + 2}}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${\sqrt{4 x + 2}}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x$ .

$2 \sqrt{7 x + 2} = {\sqrt{2 (2 x) + 2}}^{2}$

Этап 2.3.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 \sqrt{7 x + 2} = {\sqrt{2 (2 x) + 2 (1)}}^{2}$

Этап 2.3.1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x) + 2 (1)$ .

$2 \sqrt{7 x + 2} = {\sqrt{2 (2 x + 1)}}^{2}$

Этап 2.3.1.2

Перепишем ${\sqrt{2 (2 x + 1)}}^{2}$ в виде $2 (2 x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 (2 x + 1)}$ в виде ${(2 (2 x + 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \sqrt{7 x + 2} = {({(2 (2 x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 2.3.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \sqrt{7 x + 2} = {(2 (2 x + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 2.3.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$2 \sqrt{7 x + 2} = {(2 (2 x + 1))}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.3.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$2 \sqrt{7 x + 2} = {(2 (2 x + 1))}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.3.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$2 \sqrt{7 x + 2} = {(2 (2 x + 1))}^{1}$

Этап 2.3.1.2.5

Упростим.

$2 \sqrt{7 x + 2} = 2 (2 x + 1)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \sqrt{7 x + 2} = 2 (2 x) + 2 \cdot 1$

Этап 2.3.1.4

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$2 \sqrt{7 x + 2} = 4 x + 2 \cdot 1$

Этап 2.3.1.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$2 \sqrt{7 x + 2} = 4 x + 2$

Этап 3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 \sqrt{7 x + 2})}^{2} = {(4 x + 2)}^{2}$

Этап 4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7 x + 2}$ в виде ${(7 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(7 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x + 2)}^{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим ${(2 {(7 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Применим правило умножения к $2 {(7 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(7 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x + 2)}^{2}$

Этап 4.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {({(7 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x + 2)}^{2}$

Этап 4.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(7 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(7 x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 x + 2)}^{2}$

Этап 4.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 {(7 x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 x + 2)}^{2}$

Этап 4.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 {(7 x + 2)}^{1} = {(4 x + 2)}^{2}$

Этап 4.2.1.4

Упростим.

$4 (7 x + 2) = {(4 x + 2)}^{2}$

Этап 4.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (7 x) + 4 \cdot 2 = {(4 x + 2)}^{2}$

Этап 4.2.1.6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.6.1

Умножим $7$ на $4$ .

$28 x + 4 \cdot 2 = {(4 x + 2)}^{2}$

Этап 4.2.1.6.2

Умножим $4$ на $2$ .

$28 x + 8 = {(4 x + 2)}^{2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим ${(4 x + 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем ${(4 x + 2)}^{2}$ в виде $(4 x + 2) (4 x + 2)$ .

$28 x + 8 = (4 x + 2) (4 x + 2)$

Этап 4.3.1.2

Развернем $(4 x + 2) (4 x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$28 x + 8 = 4 x (4 x + 2) + 2 (4 x + 2)$

Этап 4.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$28 x + 8 = 4 x (4 x) + 4 x \cdot 2 + 2 (4 x + 2)$

Этап 4.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$28 x + 8 = 4 x (4 x) + 4 x \cdot 2 + 2 (4 x) + 2 \cdot 2$

Этап 4.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$28 x + 8 = 4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot 2 + 2 (4 x) + 2 \cdot 2$

Этап 4.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$28 x + 8 = 4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot 2 + 2 (4 x) + 2 \cdot 2$

Этап 4.3.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$28 x + 8 = 4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot 2 + 2 (4 x) + 2 \cdot 2$

Этап 4.3.1.3.1.3

Умножим $4$ на $4$ .

$28 x + 8 = 16 x^{2} + 4 x \cdot 2 + 2 (4 x) + 2 \cdot 2$

Этап 4.3.1.3.1.4

Умножим $2$ на $4$ .

$28 x + 8 = 16 x^{2} + 8 x + 2 (4 x) + 2 \cdot 2$

Этап 4.3.1.3.1.5

Умножим $4$ на $2$ .

$28 x + 8 = 16 x^{2} + 8 x + 8 x + 2 \cdot 2$

Этап 4.3.1.3.1.6

Умножим $2$ на $2$ .

$28 x + 8 = 16 x^{2} + 8 x + 8 x + 4$

Этап 4.3.1.3.2

Добавим $8 x$ и $8 x$ .

$28 x + 8 = 16 x^{2} + 16 x + 4$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$16 x^{2} + 16 x + 4 = 28 x + 8$

Этап 5.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $28 x$ из обеих частей уравнения.

$16 x^{2} + 16 x + 4 - 28 x = 8$

Этап 5.2.2

Вычтем $28 x$ из $16 x$ .

$16 x^{2} - 12 x + 4 = 8$

Этап 5.3

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$16 x^{2} - 12 x + 4 - 8 = 0$

Этап 5.4

Вычтем $8$ из $4$ .

$16 x^{2} - 12 x - 4 = 0$

Этап 5.5

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Вынесем множитель $4$ из $16 x^{2} - 12 x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Вынесем множитель $4$ из $16 x^{2}$ .

$4 (4 x^{2}) - 12 x - 4 = 0$

Этап 5.5.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 12 x$ .

$4 (4 x^{2}) + 4 (- 3 x) - 4 = 0$

Этап 5.5.1.3

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$4 (4 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 (- 1) = 0$

Этап 5.5.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 (4 x^{2}) + 4 (- 3 x)$ .

$4 (4 x^{2} - 3 x) + 4 (- 1) = 0$

Этап 5.5.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (4 x^{2} - 3 x) + 4 (- 1)$ .

$4 (4 x^{2} - 3 x - 1) = 0$

Этап 5.5.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot - 1 = - 4$ , а сумма — $b = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 x$ .

$4 (4 x^{2} - 3 x - 1) = 0$

Этап 5.5.2.1.1.2

Запишем $- 3$ как $1$ плюс $- 4$

$4 (4 x^{2} + (1 - 4) x - 1) = 0$

Этап 5.5.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (4 x^{2} + 1 x - 4 x - 1) = 0$

Этап 5.5.2.1.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$4 (4 x^{2} + x - 4 x - 1) = 0$

Этап 5.5.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$4 ((4 x^{2} + x) - 4 x - 1) = 0$

Этап 5.5.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$4 (x (4 x + 1) - (4 x + 1)) = 0$

Этап 5.5.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 x + 1$ .

$4 ((4 x + 1) (x - 1)) = 0$

Этап 5.5.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 (4 x + 1) (x - 1) = 0$

Этап 5.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 5.7

Приравняем $4 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Приравняем $4 x + 1$ к $0$ .

$4 x + 1 = 0$

Этап 5.7.2

Решим $4 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$4 x = - 1$

Этап 5.7.2.2

Разделим каждый член $4 x = - 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = - 1$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Этап 5.7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Этап 5.7.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Этап 5.7.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{4}$

Этап 5.8

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 5.8.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 5.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 (4 x + 1) (x - 1) = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{4}, 1$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{1}{4}, 1$

Десятичная форма:

$x = - 0.25, 1$