Основы мат. анализа Примеры

$\sqrt{5 x + 24} = x$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{5 x + 24}}^{2} = x^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5 x + 24}$ в виде ${(5 x + 24)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(5 x + 24)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(5 x + 24)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(5 x + 24)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 x + 24)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(5 x + 24)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(5 x + 24)}^{1} = x^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$5 x + 24 = x^{2}$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$5 x + 24 - x^{2} = 0$

Этап 3.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $5 x + 24 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Перенесем $24$ .

$5 x - x^{2} + 24 = 0$

Этап 3.2.1.1.2

Изменим порядок $5 x$ и $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 5 x + 24 = 0$

Этап 3.2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 5 x + 24 = 0$

Этап 3.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $5 x$ .

$- (x^{2}) - (- 5 x) + 24 = 0$

Этап 3.2.1.4

Перепишем $24$ в виде $- 1 (- 24)$ .

$- (x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot - 24 = 0$

Этап 3.2.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (- 5 x)$ .

$- (x^{2} - 5 x) - 1 \cdot - 24 = 0$

Этап 3.2.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - 5 x) - 1 (- 24)$ .

$- (x^{2} - 5 x - 24) = 0$

Этап 3.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разложим $x^{2} - 5 x - 24$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 24$ , а сумма — $- 5$ .

$- 8, 3$

Этап 3.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x - 8) (x + 3)) = 0$

Этап 3.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 8) (x + 3) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 8 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $x - 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $x - 8$ к $0$ .

$x - 8 = 0$

Этап 3.4.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$x = 8$

Этап 3.5

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 3.5.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 8) (x + 3) = 0$ верно.

$x = 8, - 3$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{5 x + 24} = x$ истинным.

$x = 8$