Основы мат. анализа Примеры

$2 \log_{4} (x + 4) - \log_{4} (x + 12) = 1$

Этап 1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$2 \log_{4} (x + 4) - \log_{4} (x + 12) = 1$

Этап 2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $2 \log_{4} (x + 4) - \log_{4} (x + 12)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим $2 \log_{4} (x + 4)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) - \log_{4} (x + 12) = 1$

Этап 2.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{4} (\frac{{(x + 4)}^{2}}{x + 12}) = 1$

Этап 3

Перепишем $\log_{4} (\frac{{(x + 4)}^{2}}{x + 12}) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$4^{1} = \frac{{(x + 4)}^{2}}{x + 12}$

Этап 4

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

${(x + 4)}^{2} = 4 (x + 12)$

Этап 5

Упростим $4 (x + 12)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

${(x + 4)}^{2} = 4 x + 4 \cdot 12$

Этап 5.2

Умножим $4$ на $12$ .

${(x + 4)}^{2} = 4 x + 48$

Этап 6

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $4 x$ из обеих частей уравнения.

${(x + 4)}^{2} - 4 x = 48$

Этап 6.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем ${(x + 4)}^{2}$ в виде $(x + 4) (x + 4)$ .

$(x + 4) (x + 4) - 4 x = 48$

Этап 6.2.2

Развернем $(x + 4) (x + 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x + 4) + 4 (x + 4) - 4 x = 48$

Этап 6.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4) - 4 x = 48$

Этап 6.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4 - 4 x = 48$

Этап 6.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4 - 4 x = 48$

Этап 6.2.3.1.2

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4 - 4 x = 48$

Этап 6.2.3.1.3

Умножим $4$ на $4$ .

$x^{2} + 4 x + 4 x + 16 - 4 x = 48$

Этап 6.2.3.2

Добавим $4 x$ и $4 x$ .

$x^{2} + 8 x + 16 - 4 x = 48$

Этап 6.3

Вычтем $4 x$ из $8 x$ .

$x^{2} + 4 x + 16 = 48$

Этап 7

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 4 x = 48 - 16$

Этап 7.2

Вычтем $16$ из $48$ .

$x^{2} + 4 x = 32$

Этап 8

Вычтем $32$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 4 x - 32 = 0$

Этап 9

Разложим $x^{2} + 4 x - 32$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 32$ , а сумма — $4$ .

$- 4, 8$

Этап 9.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 4) (x + 8) = 0$

Этап 10

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 8 = 0$

Этап 11

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 11.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 12

Приравняем $x + 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $x + 8$ к $0$ .

$x + 8 = 0$

Этап 12.2

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$x = - 8$

Этап 13

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 4) (x + 8) = 0$ верно.

$x = 4, - 8$

Этап 14

Исключим решения, которые не делают $2 \log_{4} (x + 4) - \log_{4} (x + 12) = 1$ истинным.

$x = 4$