Основы мат. анализа Примеры

$16^{x} - 7 \cdot 4^{x} + 6 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $16^{x}$ в виде ${(4^{2})}^{x}$ .

${(4^{2})}^{x} - 7 \cdot 4^{x} + 6 = 0$

Этап 1.2

Перепишем ${(4^{2})}^{x}$ в виде ${(4^{x})}^{2}$ .

${(4^{x})}^{2} - 7 \cdot 4^{x} + 6 = 0$

Этап 1.3

Пусть $u = 4^{x}$ . Подставим $u$ вместо $4^{x}$ для всех.

$u^{2} - 7 u + 6 = 0$

Этап 1.4

Разложим $u^{2} - 7 u + 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $6$ , а сумма — $- 7$ .

$- 6, - 1$

Этап 1.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 6) (u - 1) = 0$

Этап 1.5

Заменим все вхождения $u$ на $4^{x}$ .

$(4^{x} - 6) (4^{x} - 1) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4^{x} - 6 = 0$

$4^{x} - 1 = 0$

Этап 3

Приравняем $4^{x} - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $4^{x} - 6$ к $0$ .

$4^{x} - 6 = 0$

Этап 3.2

Решим $4^{x} - 6 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$4^{x} = 6$

Этап 3.2.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (4^{x}) = \ln (6)$

Этап 3.2.3

Развернем $\ln (4^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (4) = \ln (6)$

Этап 3.2.4

Разделим каждый член $x \ln (4) = \ln (6)$ на $\ln (4)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Разделим каждый член $x \ln (4) = \ln (6)$ на $\ln (4)$ .

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (6)}{\ln (4)}$

Этап 3.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1

Сократим общий множитель $\ln (4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (6)}{\ln (4)}$

Этап 3.2.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\ln (6)}{\ln (4)}$

Этап 4

Приравняем $4^{x} - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $4^{x} - 1$ к $0$ .

$4^{x} - 1 = 0$

Этап 4.2

Решим $4^{x} - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$4^{x} = 1$

Этап 4.2.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (4^{x}) = \ln (1)$

Этап 4.2.3

Развернем $\ln (4^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (4) = \ln (1)$

Этап 4.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$x \ln (4) = 0$

Этап 4.2.5

Разделим каждый член $x \ln (4) = 0$ на $\ln (4)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Разделим каждый член $x \ln (4) = 0$ на $\ln (4)$ .

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{0}{\ln (4)}$

Этап 4.2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.2.1

Сократим общий множитель $\ln (4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{0}{\ln (4)}$

Этап 4.2.5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{\ln (4)}$

Этап 4.2.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.3.1

Перепишем $\ln (4)$ в виде $\ln (2^{2})$ .

$x = \frac{0}{\ln (2^{2})}$

Этап 4.2.5.3.2

Развернем $\ln (2^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$x = \frac{0}{2 \ln (2)}$

Этап 4.2.5.3.3

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$x = \frac{2 (0)}{2 \ln (2)}$

Этап 4.2.5.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \ln (2)$ .

$x = \frac{2 (0)}{2 (\ln (2))}$

Этап 4.2.5.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 \cdot 0}{2 \ln (2)}$

Этап 4.2.5.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{0}{\ln (2)}$

Этап 4.2.5.3.4

Разделим $0$ на $\ln (2)$ .

$x = 0$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(4^{x} - 6) (4^{x} - 1) = 0$ верно.

$x = \frac{\ln (6)}{\ln (4)}, 0$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{\ln (6)}{\ln (4)}, 0$

Десятичная форма:

$x = 1.29248125 \dots, 0$