Основы мат. анализа Примеры

$2 e^{2 x} - 7 e^{x} + 3 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $e^{2 x}$ в виде ${(e^{x})}^{2}$ .

$2 {(e^{x})}^{2} - 7 e^{x} + 3 = 0$

Этап 1.2

Пусть $u = e^{x}$ . Подставим $u$ вместо $e^{x}$ для всех.

$2 u^{2} - 7 u + 3 = 0$

Этап 1.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ , а сумма — $b = - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Вынесем множитель $- 7$ из $- 7 u$ .

$2 u^{2} - 7 u + 3 = 0$

Этап 1.3.1.2

Запишем $- 7$ как $- 1$ плюс $- 6$

$2 u^{2} + (- 1 - 6) u + 3 = 0$

Этап 1.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 u^{2} - 1 u - 6 u + 3 = 0$

Этап 1.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 u^{2} - 1 u) - 6 u + 3 = 0$

Этап 1.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (2 u - 1) - 3 (2 u - 1) = 0$

Этап 1.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u - 3) = 0$

Этап 1.4

Заменим все вхождения $u$ на $e^{x}$ .

$(2 e^{x} - 1) (e^{x} - 3) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 e^{x} - 1 = 0$

$e^{x} - 3 = 0$

Этап 3

Приравняем $2 e^{x} - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $2 e^{x} - 1$ к $0$ .

$2 e^{x} - 1 = 0$

Этап 3.2

Решим $2 e^{x} - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 e^{x} = 1$

Этап 3.2.2

Разделим каждый член $2 e^{x} = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разделим каждый член $2 e^{x} = 1$ на $2$ .

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 3.2.2.2.1.2

Разделим $e^{x}$ на $1$ .

$e^{x} = \frac{1}{2}$

Этап 3.2.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1}{2})$

Этап 3.2.4

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (\frac{1}{2})$

Этап 3.2.4.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{2})$

Этап 3.2.4.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Этап 4

Приравняем $e^{x} - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $e^{x} - 3$ к $0$ .

$e^{x} - 3 = 0$

Этап 4.2

Решим $e^{x} - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$e^{x} = 3$

Этап 4.2.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (3)$

Этап 4.2.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (3)$

Этап 4.2.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (3)$

Этап 4.2.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (3)$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 e^{x} - 1) (e^{x} - 3) = 0$ верно.

$x = \ln (\frac{1}{2}), \ln (3)$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \ln (\frac{1}{2}), \ln (3)$

Десятичная форма:

$x = - 0.69314718 \dots, 1.09861228 \dots$