Основы мат. анализа Примеры

$- 2 \log_{4} (x) = \log_{4} (9)$

Этап 1

Упростим $- 2 \log_{4} (x)$ путем переноса $- 2$ под логарифм.

$\log_{4} (x^{- 2}) = \log_{4} (9)$

Этап 2

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$x^{- 2} = 9$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} = 9$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{2}, 1$

Этап 3.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{2}$

Этап 3.3

Каждый член в $\frac{1}{x^{2}} = 9$ умножим на $x^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{x^{2}} = 9$ на $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = 9 x^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = 9 x^{2}$

Этап 3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = 9 x^{2}$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $9 x^{2} = 1$ .

$9 x^{2} = 1$

Этап 3.4.2

Разделим каждый член $9 x^{2} = 1$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разделим каждый член $9 x^{2} = 1$ на $9$ .

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{1}{9}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{1}{9}$

Этап 3.4.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{9}$

Этап 3.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{9}}$

Этап 3.4.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{9}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{9}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$

Этап 3.4.4.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{9}}$

Этап 3.4.4.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

Этап 3.4.4.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{1}{3}$

Этап 3.4.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{1}{3}$

Этап 3.4.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{1}{3}$

Этап 3.4.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $- 2 \log_{4} (x) = \log_{4} (9)$ истинным.

$x = \frac{1}{3}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{1}{3}$

Десятичная форма:

$x = 0.\overline{3}$