Основы мат. анализа Примеры

$2 x + 1 = \frac{5}{x + 2}$

Этап 1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x = \frac{5}{x + 2} - 1$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, x + 2, 1$

Этап 2.2

Избавимся от скобок.

$1, x + 2, 1$

Этап 2.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x + 2$

Этап 3

Каждый член в $2 x = \frac{5}{x + 2} - 1$ умножим на $x + 2$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $2 x = \frac{5}{x + 2} - 1$ на $x + 2$ .

$2 x (x + 2) = \frac{5}{x + 2} (x + 2) - (x + 2)$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot 2 = \frac{5}{x + 2} (x + 2) - (x + 2)$

Этап 3.2.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Перенесем $x$ .

$2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 2 = \frac{5}{x + 2} (x + 2) - (x + 2)$

Этап 3.2.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x^{2} + 2 x \cdot 2 = \frac{5}{x + 2} (x + 2) - (x + 2)$

Этап 3.2.3

Умножим $2$ на $2$ .

$2 x^{2} + 4 x = \frac{5}{x + 2} (x + 2) - (x + 2)$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 x^{2} + 4 x = \frac{5}{x + 2} (x + 2) - (x + 2)$

Этап 3.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$2 x^{2} + 4 x = 5 - (x + 2)$

Этап 3.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} + 4 x = 5 - x - 1 \cdot 2$

Этап 3.3.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 x^{2} + 4 x = 5 - x - 2$

Этап 3.3.2

Вычтем $2$ из $5$ .

$2 x^{2} + 4 x = - x + 3$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$2 x^{2} + 4 x + x = 3$

Этап 4.1.2

Добавим $4 x$ и $x$ .

$2 x^{2} + 5 x = 3$

Этап 4.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} + 5 x - 3 = 0$

Этап 4.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ , а сумма — $b = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$2 x^{2} + 5 (x) - 3 = 0$

Этап 4.3.1.2

Запишем $5$ как $- 1$ плюс $6$

$2 x^{2} + (- 1 + 6) x - 3 = 0$

Этап 4.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - 1 x + 6 x - 3 = 0$

Этап 4.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 x^{2} - 1 x) + 6 x - 3 = 0$

Этап 4.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (2 x - 1) + 3 (2 x - 1) = 0$

Этап 4.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 1$ .

$(2 x - 1) (x + 3) = 0$

Этап 4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 4.5

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Этап 4.5.2

Решим $2 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 4.5.2.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 4.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 4.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 4.6

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 4.6.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x - 1) (x + 3) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{2}, - 3$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{1}{2}, - 3$

Десятичная форма:

$x = 0.5, - 3$