Основы мат. анализа Примеры

$3 \sin^{2} (x) - 8 \sin (x) - 3 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \sin (x)$ . Подставим $u$ вместо $\sin (x)$ для всех.

$3 u^{2} - 8 u - 3 = 0$

Этап 1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 3 = - 9$ , а сумма — $b = - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $- 8$ из $- 8 u$ .

$3 u^{2} - 8 u - 3 = 0$

Этап 1.2.1.2

Запишем $- 8$ как $1$ плюс $- 9$

$3 u^{2} + (1 - 9) u - 3 = 0$

Этап 1.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 u^{2} + 1 u - 9 u - 3 = 0$

Этап 1.2.1.4

Умножим $u$ на $1$ .

$3 u^{2} + u - 9 u - 3 = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 u^{2} + u) - 9 u - 3 = 0$

Этап 1.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (3 u + 1) - 3 (3 u + 1) = 0$

Этап 1.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 u + 1$ .

$(3 u + 1) (u - 3) = 0$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$(3 \sin (x) + 1) (\sin (x) - 3) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 \sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) - 3 = 0$

Этап 3

Приравняем $3 \sin (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $3 \sin (x) + 1$ к $0$ .

$3 \sin (x) + 1 = 0$

Этап 3.2

Решим $3 \sin (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$3 \sin (x) = - 1$

Этап 3.2.2

Разделим каждый член $3 \sin (x) = - 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разделим каждый член $3 \sin (x) = - 1$ на $3$ .

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{- 1}{3}$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{- 1}{3}$

Этап 3.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{3}$

Этап 3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (x) = - \frac{1}{3}$

Этап 3.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- \frac{1}{3})$

Этап 3.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Найдем значение $\arcsin (- \frac{1}{3})$ .

$x = - 0.3398369$

Этап 3.2.5

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 (3.14159265) + 0.3398369 + 3.14159265$

Этап 3.2.6

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Вычтем $2 π$ из $2 (3.14159265) + 0.3398369 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 0.3398369 + 3.14159265 - 2 π$

Этап 3.2.6.2

Результирующий угол $3.48142956$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 (3.14159265) + 0.3398369 + 3.14159265$ на полный оборот.

$x = 3.48142956$

Этап 3.2.7

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.2.8

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.1

Добавим $2 π$ к $- 0.3398369$ , чтобы найти положительный угол.

$- 0.3398369 + 2 π$

Этап 3.2.8.2

Вычтем $0.3398369$ из $2 π$ .

$5.94334839$

Этап 3.2.8.3

Перечислим новые углы.

$x = 5.94334839$

Этап 3.2.9

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 3.48142956 + 2 π n, 5.94334839 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Приравняем $\sin (x) - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\sin (x) - 3$ к $0$ .

$\sin (x) - 3 = 0$

Этап 4.2

Решим $\sin (x) - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$\sin (x) = 3$

Этап 4.2.2

Множество значений синуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $3$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 \sin (x) + 1) (\sin (x) - 3) = 0$ верно.

$x = 3.48142956 + 2 π n, 5.94334839 + 2 π n$ , для любого целого $n$