Основы мат. анализа Примеры

$2 + 13 \sin (x) = 14 \cos^{2} (x)$

Этап 1

Вычтем $14 \cos^{2} (x)$ из обеих частей уравнения.

$2 + 13 \sin (x) - 14 \cos^{2} (x) = 0$

Этап 2

Заменим $- 14 \cos^{2} (x)$ на $- 14 (1 - \sin^{2} (x))$ на основе тождества $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 + 13 \sin (x) - 14 (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 + 13 \sin (x) - 14 \cdot 1 - 14 (- \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 3.2

Умножим $- 14$ на $1$ .

$2 + 13 \sin (x) - 14 - 14 (- \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 3.3

Умножим $- 1$ на $- 14$ .

$2 + 13 \sin (x) - 14 + 14 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 4

Вычтем $14$ из $2$ .

$13 \sin (x) - 12 + 14 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 5

Упорядочим многочлен.

$14 \sin^{2} (x) + 13 \sin (x) - 12 = 0$

Этап 6

Подставим $u$ вместо $\sin (x)$ .

$14 {(u)}^{2} + 13 (u) - 12 = 0$

Этап 7

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 14 \cdot - 12 = - 168$ , а сумма — $b = 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем множитель $13$ из $13 u$ .

$14 u^{2} + 13 u - 12 = 0$

Этап 7.1.2

Запишем $13$ как $- 8$ плюс $21$

$14 u^{2} + (- 8 + 21) u - 12 = 0$

Этап 7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$14 u^{2} - 8 u + 21 u - 12 = 0$

Этап 7.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$14 u^{2} - 8 u + 21 u - 12 = 0$

Этап 7.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 u (7 u - 4) + 3 (7 u - 4) = 0$

Этап 7.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $7 u - 4$ .

$(7 u - 4) (2 u + 3) = 0$

Этап 8

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$7 u - 4 = 0$

$2 u + 3 = 0$

Этап 9

Приравняем $7 u - 4$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Приравняем $7 u - 4$ к $0$ .

$7 u - 4 = 0$

Этап 9.2

Решим $7 u - 4 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$7 u = 4$

Этап 9.2.2

Разделим каждый член $7 u = 4$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Разделим каждый член $7 u = 4$ на $7$ .

$\frac{7 u}{7} = \frac{4}{7}$

Этап 9.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 u}{7} = \frac{4}{7}$

Этап 9.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{4}{7}$

Этап 10

Приравняем $2 u + 3$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $2 u + 3$ к $0$ .

$2 u + 3 = 0$

Этап 10.2

Решим $2 u + 3 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 u = - 3$

Этап 10.2.2

Разделим каждый член $2 u = - 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Разделим каждый член $2 u = - 3$ на $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 10.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 10.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{- 3}{2}$

Этап 10.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = - \frac{3}{2}$

Этап 11

Окончательным решением являются все значения, при которых $(7 u - 4) (2 u + 3) = 0$ верно.

$u = \frac{4}{7}, - \frac{3}{2}$

Этап 12

Подставим $\sin (x)$ вместо $u$ .

$\sin (x) = \frac{4}{7}, - \frac{3}{2}$

Этап 13

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (x) = \frac{4}{7}$

$\sin (x) = - \frac{3}{2}$

Этап 14

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = \frac{4}{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{4}{7})$

Этап 14.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{4}{7})$ .

$x = 0.60824557$

Этап 14.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = (3.14159265) - 0.60824557$

Этап 14.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 - 0.60824557$

Этап 14.4.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) - 0.60824557$

Этап 14.4.3

Вычтем $0.60824557$ из $3.14159265$ .

$x = 2.53334707$

Этап 14.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 14.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 14.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 14.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 14.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 0.60824557 + 2 π n, 2.53334707 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 15

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = - \frac{3}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Множество значений синуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $- \frac{3}{2}$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 16

Перечислим все решения.

$x = 0.60824557 + 2 π n, 2.53334707 + 2 π n$ , для любого целого $n$