Основы мат. анализа Примеры

$2 \ln (x) = \ln (3) + \ln (x + 6)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $2 \ln (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln (x^{2}) = \ln (3) + \ln (x + 6)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\ln (3) + \ln (x + 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x^{2}) = \ln (3 (x + 6))$

Этап 2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (x^{2}) = \ln (3 x + 3 \cdot 6)$

Этап 2.1.3

Умножим $3$ на $6$ .

$\ln (x^{2}) = \ln (3 x + 18)$

Этап 3

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$x^{2} = 3 x + 18$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $3 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 3 x = 18$

Этап 4.2

Вычтем $18$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 3 x - 18 = 0$

Этап 4.3

Разложим $x^{2} - 3 x - 18$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 18$ , а сумма — $- 3$ .

$- 6, 3$

Этап 4.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 6) (x + 3) = 0$

Этап 4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 4.5

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 4.5.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 4.6

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 4.6.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 6) (x + 3) = 0$ верно.

$x = 6, - 3$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $2 \ln (x) = \ln (3) + \ln (x + 6)$ истинным.

$x = 6$