Основы мат. анализа Примеры

$\sqrt{2 \sqrt{2 x + 3}} = \sqrt{x + 3}$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{2 \sqrt{2 x + 3}}}^{2} = {\sqrt{x + 3}}^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 \sqrt{2 x + 3}}$ в виде ${(2 \sqrt{2 x + 3})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 \sqrt{2 x + 3})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt{x + 3}}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(2 \sqrt{2 x + 3})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(2 \sqrt{2 x + 3})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 \sqrt{2 x + 3})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{x + 3}}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(2 \sqrt{2 x + 3})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{x + 3}}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(2 \sqrt{2 x + 3})}^{1} = {\sqrt{x + 3}}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$2 \sqrt{2 x + 3} = {\sqrt{x + 3}}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем ${\sqrt{x + 3}}^{2}$ в виде $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 3}$ в виде ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \sqrt{2 x + 3} = {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 2.3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \sqrt{2 x + 3} = {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 2.3.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$2 \sqrt{2 x + 3} = {(x + 3)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.3.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$2 \sqrt{2 x + 3} = {(x + 3)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$2 \sqrt{2 x + 3} = {(x + 3)}^{1}$

Этап 2.3.1.5

Упростим.

$2 \sqrt{2 x + 3} = x + 3$

Этап 3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 \sqrt{2 x + 3})}^{2} = {(x + 3)}^{2}$

Этап 4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x + 3}$ в виде ${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 3)}^{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим ${(2 {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Применим правило умножения к $2 {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 3)}^{2}$

Этап 4.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {({(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 3)}^{2}$

Этап 4.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 3)}^{2}$

Этап 4.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 3)}^{2}$

Этап 4.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 {(2 x + 3)}^{1} = {(x + 3)}^{2}$

Этап 4.2.1.4

Упростим.

$4 (2 x + 3) = {(x + 3)}^{2}$

Этап 4.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (2 x) + 4 \cdot 3 = {(x + 3)}^{2}$

Этап 4.2.1.6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.6.1

Умножим $2$ на $4$ .

$8 x + 4 \cdot 3 = {(x + 3)}^{2}$

Этап 4.2.1.6.2

Умножим $4$ на $3$ .

$8 x + 12 = {(x + 3)}^{2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим ${(x + 3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем ${(x + 3)}^{2}$ в виде $(x + 3) (x + 3)$ .

$8 x + 12 = (x + 3) (x + 3)$

Этап 4.3.1.2

Развернем $(x + 3) (x + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x + 12 = x (x + 3) + 3 (x + 3)$

Этап 4.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x + 12 = x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)$

Этап 4.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x + 12 = x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3$

Этап 4.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$8 x + 12 = x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3$

Этап 4.3.1.3.1.2

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$8 x + 12 = x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3$

Этап 4.3.1.3.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$8 x + 12 = x^{2} + 3 x + 3 x + 9$

Этап 4.3.1.3.2

Добавим $3 x$ и $3 x$ .

$8 x + 12 = x^{2} + 6 x + 9$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} + 6 x + 9 = 8 x + 12$

Этап 5.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $8 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 6 x + 9 - 8 x = 12$

Этап 5.2.2

Вычтем $8 x$ из $6 x$ .

$x^{2} - 2 x + 9 = 12$

Этап 5.3

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 2 x + 9 - 12 = 0$

Этап 5.4

Вычтем $12$ из $9$ .

$x^{2} - 2 x - 3 = 0$

Этап 5.5

Разложим $x^{2} - 2 x - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $- 2$ .

$- 3, 1$

Этап 5.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 3) (x + 1) = 0$

Этап 5.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 5.7

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 5.7.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 5.8

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 5.8.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 5.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 3, - 1$