Основы мат. анализа Примеры

$4 = \sqrt{- 6 - 2 x} + \sqrt{31 - 3 x}$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{- 6 - 2 x} + \sqrt{31 - 3 x} = 4$ .

$\sqrt{- 6 - 2 x} + \sqrt{31 - 3 x} = 4$

Этап 2

Вычтем $\sqrt{31 - 3 x}$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{- 6 - 2 x} = 4 - \sqrt{31 - 3 x}$

Этап 3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{- 6 - 2 x}}^{2} = {(4 - \sqrt{31 - 3 x})}^{2}$

Этап 4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{- 6 - 2 x}$ в виде ${(- 6 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- 6 - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 - \sqrt{31 - 3 x})}^{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим ${({(- 6 - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(- 6 - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 6 - 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 - \sqrt{31 - 3 x})}^{2}$

Этап 4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(- 6 - 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 - \sqrt{31 - 3 x})}^{2}$

Этап 4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(- 6 - 2 x)}^{1} = {(4 - \sqrt{31 - 3 x})}^{2}$

Этап 4.2.1.2

Упростим.

$- 6 - 2 x = {(4 - \sqrt{31 - 3 x})}^{2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим ${(4 - \sqrt{31 - 3 x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем ${(4 - \sqrt{31 - 3 x})}^{2}$ в виде $(4 - \sqrt{31 - 3 x}) (4 - \sqrt{31 - 3 x})$ .

$- 6 - 2 x = (4 - \sqrt{31 - 3 x}) (4 - \sqrt{31 - 3 x})$

Этап 4.3.1.2

Развернем $(4 - \sqrt{31 - 3 x}) (4 - \sqrt{31 - 3 x})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 6 - 2 x = 4 (4 - \sqrt{31 - 3 x}) - \sqrt{31 - 3 x} (4 - \sqrt{31 - 3 x})$

Этап 4.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 6 - 2 x = 4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{31 - 3 x}) - \sqrt{31 - 3 x} (4 - \sqrt{31 - 3 x})$

Этап 4.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 6 - 2 x = 4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{31 - 3 x}) - \sqrt{31 - 3 x} \cdot 4 - \sqrt{31 - 3 x} (- \sqrt{31 - 3 x})$

Этап 4.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.1

Умножим $4$ на $4$ .

$- 6 - 2 x = 16 + 4 (- \sqrt{31 - 3 x}) - \sqrt{31 - 3 x} \cdot 4 - \sqrt{31 - 3 x} (- \sqrt{31 - 3 x})$

Этап 4.3.1.3.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - \sqrt{31 - 3 x} \cdot 4 - \sqrt{31 - 3 x} (- \sqrt{31 - 3 x})$

Этап 4.3.1.3.1.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} - \sqrt{31 - 3 x} (- \sqrt{31 - 3 x})$

Этап 4.3.1.3.1.4

Умножим $- \sqrt{31 - 3 x} (- \sqrt{31 - 3 x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} + 1 \sqrt{31 - 3 x} \sqrt{31 - 3 x}$

Этап 4.3.1.3.1.4.2

Умножим $\sqrt{31 - 3 x}$ на $1$ .

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} + \sqrt{31 - 3 x} \sqrt{31 - 3 x}$

Этап 4.3.1.3.1.4.3

Возведем $\sqrt{31 - 3 x}$ в степень $1$ .

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} + {\sqrt{31 - 3 x}}^{1} \sqrt{31 - 3 x}$

Этап 4.3.1.3.1.4.4

Возведем $\sqrt{31 - 3 x}$ в степень $1$ .

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} + {\sqrt{31 - 3 x}}^{1} {\sqrt{31 - 3 x}}^{1}$

Этап 4.3.1.3.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} + {\sqrt{31 - 3 x}}^{1 + 1}$

Этап 4.3.1.3.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} + {\sqrt{31 - 3 x}}^{2}$

Этап 4.3.1.3.1.5

Перепишем ${\sqrt{31 - 3 x}}^{2}$ в виде $31 - 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{31 - 3 x}$ в виде ${(31 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} + {({(31 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 4.3.1.3.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} + {(31 - 3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 4.3.1.3.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} + {(31 - 3 x)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 4.3.1.3.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} + {(31 - 3 x)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 4.3.1.3.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} + {(31 - 3 x)}^{1}$

Этап 4.3.1.3.1.5.5

Упростим.

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} + 31 - 3 x$

Этап 4.3.1.3.2

Добавим $16$ и $31$ .

$- 6 - 2 x = 47 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 3 x$

Этап 4.3.1.3.3

Вычтем $4 \sqrt{31 - 3 x}$ из $- 4 \sqrt{31 - 3 x}$ .

$- 6 - 2 x = 47 - 8 \sqrt{31 - 3 x} - 3 x$

Этап 5

Решим относительно $- 8 \sqrt{31 - 3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $47 - 8 \sqrt{31 - 3 x} - 3 x = - 6 - 2 x$ .

$47 - 8 \sqrt{31 - 3 x} - 3 x = - 6 - 2 x$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $- 8 \sqrt{31 - 3 x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $47$ из обеих частей уравнения.

$- 8 \sqrt{31 - 3 x} - 3 x = - 6 - 2 x - 47$

Этап 5.2.2

Добавим $3 x$ к обеим частям уравнения.

$- 8 \sqrt{31 - 3 x} = - 6 - 2 x - 47 + 3 x$

Этап 5.2.3

Вычтем $47$ из $- 6$ .

$- 8 \sqrt{31 - 3 x} = - 2 x - 53 + 3 x$

Этап 5.2.4

Добавим $- 2 x$ и $3 x$ .

$- 8 \sqrt{31 - 3 x} = x - 53$

Этап 6

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(- 8 \sqrt{31 - 3 x})}^{2} = {(x - 53)}^{2}$

Этап 7

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{31 - 3 x}$ в виде ${(31 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 8 {(31 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 53)}^{2}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим ${(- 8 {(31 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Применим правило умножения к $- 8 {(31 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 8)}^{2} {({(31 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 53)}^{2}$

Этап 7.2.1.2

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$64 {({(31 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 53)}^{2}$

Этап 7.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(31 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$64 {(31 - 3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 53)}^{2}$

Этап 7.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$64 {(31 - 3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 53)}^{2}$

Этап 7.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$64 {(31 - 3 x)}^{1} = {(x - 53)}^{2}$

Этап 7.2.1.4

Упростим.

$64 (31 - 3 x) = {(x - 53)}^{2}$

Этап 7.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$64 \cdot 31 + 64 (- 3 x) = {(x - 53)}^{2}$

Этап 7.2.1.6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.6.1

Умножим $64$ на $31$ .

$1984 + 64 (- 3 x) = {(x - 53)}^{2}$

Этап 7.2.1.6.2

Умножим $- 3$ на $64$ .

$1984 - 192 x = {(x - 53)}^{2}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим ${(x - 53)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Перепишем ${(x - 53)}^{2}$ в виде $(x - 53) (x - 53)$ .

$1984 - 192 x = (x - 53) (x - 53)$

Этап 7.3.1.2

Развернем $(x - 53) (x - 53)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1984 - 192 x = x (x - 53) - 53 (x - 53)$

Этап 7.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1984 - 192 x = x \cdot x + x \cdot - 53 - 53 (x - 53)$

Этап 7.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1984 - 192 x = x \cdot x + x \cdot - 53 - 53 x - 53 \cdot - 53$

Этап 7.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$1984 - 192 x = x^{2} + x \cdot - 53 - 53 x - 53 \cdot - 53$

Этап 7.3.1.3.1.2

Перенесем $- 53$ влево от $x$ .

$1984 - 192 x = x^{2} - 53 \cdot x - 53 x - 53 \cdot - 53$

Этап 7.3.1.3.1.3

Умножим $- 53$ на $- 53$ .

$1984 - 192 x = x^{2} - 53 x - 53 x + 2809$

Этап 7.3.1.3.2

Вычтем $53 x$ из $- 53 x$ .

$1984 - 192 x = x^{2} - 106 x + 2809$

Этап 8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} - 106 x + 2809 = 1984 - 192 x$

Этап 8.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Добавим $192 x$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 106 x + 2809 + 192 x = 1984$

Этап 8.2.2

Добавим $- 106 x$ и $192 x$ .

$x^{2} + 86 x + 2809 = 1984$

Этап 8.3

Вычтем $1984$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 86 x + 2809 - 1984 = 0$

Этап 8.4

Вычтем $1984$ из $2809$ .

$x^{2} + 86 x + 825 = 0$

Этап 8.5

Разложим $x^{2} + 86 x + 825$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $825$ , а сумма — $86$ .

$11, 75$

Этап 8.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x + 11) (x + 75) = 0$

Этап 8.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 11 = 0$

$x + 75 = 0$

Этап 8.7

Приравняем $x + 11$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Приравняем $x + 11$ к $0$ .

$x + 11 = 0$

Этап 8.7.2

Вычтем $11$ из обеих частей уравнения.

$x = - 11$

Этап 8.8

Приравняем $x + 75$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.8.1

Приравняем $x + 75$ к $0$ .

$x + 75 = 0$

Этап 8.8.2

Вычтем $75$ из обеих частей уравнения.

$x = - 75$

Этап 8.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 11) (x + 75) = 0$ верно.

$x = - 11, - 75$

Этап 9

Исключим решения, которые не делают $4 = \sqrt{- 6 - 2 x} + \sqrt{31 - 3 x}$ истинным.

$Нет решения$