Основы мат. анализа Примеры

$\log_{2} (x - 1) - \log_{2} (x + 3) = \log_{2} (\frac{1}{x})$

Этап 1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{x - 1}{x + 3}) = \log_{2} (\frac{1}{x})$

Этап 2

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$\frac{x - 1}{x + 3} = \frac{1}{x}$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим числитель первой дроби на знаменатель второй дроби. Приравняем результат к произведению знаменателя первой дроби и числителя второй дроби.

$(x - 1) x = (x + 3) \cdot 1$

Этап 3.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $(x - 1) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + (x - 1) x = (x + 3) \cdot 1$

Этап 3.2.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$(x - 1) x = (x + 3) \cdot 1$

Этап 3.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x - 1 x = (x + 3) \cdot 1$

Этап 3.2.1.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} - 1 x = (x + 3) \cdot 1$

Этап 3.2.1.4.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$x^{2} - x = (x + 3) \cdot 1$

Этап 3.2.2

Умножим $x + 3$ на $1$ .

$x^{2} - x = x + 3$

Этап 3.2.3

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - x - x = 3$

Этап 3.2.3.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$x^{2} - 2 x = 3$

Этап 3.2.4

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 2 x - 3 = 0$

Этап 3.2.5

Разложим $x^{2} - 2 x - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $- 2$ .

$- 3, 1$

Этап 3.2.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 3) (x + 1) = 0$

Этап 3.2.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 3.2.7

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 3.2.7.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 3.2.8

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 3.2.8.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 3.2.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 3, - 1$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log_{2} (x - 1) - \log_{2} (x + 3) = \log_{2} (\frac{1}{x})$ истинным.

$x = 3$