Основы мат. анализа Примеры

$\log_{4} (x^{2} + 3 x) - \log_{4} (x + 5) = 1$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{4} (\frac{x^{2} + 3 x}{x + 5}) = 1$

Этап 1.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\log_{4} (\frac{x \cdot x + 3 x}{x + 5}) = 1$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $3 x$ .

$\log_{4} (\frac{x \cdot x + x \cdot 3}{x + 5}) = 1$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 3$ .

$\log_{4} (\frac{x (x + 3)}{x + 5}) = 1$

Этап 2

Перепишем $\log_{4} (\frac{x (x + 3)}{x + 5}) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$4^{1} = \frac{x (x + 3)}{x + 5}$

Этап 3

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$x (x + 3) = 4 (x + 5)$

Этап 4

Упростим $4 (x + 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x + 3) = 4 x + 4 \cdot 5$

Этап 4.2

Умножим $4$ на $5$ .

$x (x + 3) = 4 x + 20$

Этап 5

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $4 x$ из обеих частей уравнения.

$x (x + 3) - 4 x = 20$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot 3 - 4 x = 20$

Этап 5.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot 3 - 4 x = 20$

Этап 5.2.3

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$x^{2} + 3 x - 4 x = 20$

Этап 5.3

Вычтем $4 x$ из $3 x$ .

$x^{2} - x = 20$

Этап 6

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \cdot x - x = 20$

Этап 6.2

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 20$

Этап 6.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$x (x - 1) = 20$

Этап 7

Упростим $x (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 20$

Этап 7.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 = 20$

Этап 7.1.2.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x = 20$

Этап 7.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$x^{2} - x = 20$

Этап 8

Вычтем $20$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - x - 20 = 0$

Этап 9

Разложим $x^{2} - x - 20$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 20$ , а сумма — $- 1$ .

$- 5, 4$

Этап 9.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 5) (x + 4) = 0$

Этап 10

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 11

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 11.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 12

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 12.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 13

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 5) (x + 4) = 0$ верно.

$x = 5, - 4$