Основы мат. анализа Примеры

$\log_{5} (4 x + 12) - \log_{5} (x - 13) = 3$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{4 x + 12}{x - 13}) = 3$

Этап 1.2

Вынесем множитель $4$ из $4 x + 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$\log_{5} (\frac{4 (x) + 12}{x - 13}) = 3$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\log_{5} (\frac{4 x + 4 \cdot 3}{x - 13}) = 3$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $4$ из $4 x + 4 \cdot 3$ .

$\log_{5} (\frac{4 (x + 3)}{x - 13}) = 3$

Этап 2

Перепишем $\log_{5} (\frac{4 (x + 3)}{x - 13}) = 3$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$5^{3} = \frac{4 (x + 3)}{x - 13}$

Этап 3

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$4 (x + 3) = 5^{3} (x - 13)$

Этап 4

Упростим $5^{3} (x - 13)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $5$ в степень $3$ .

$4 (x + 3) = 125 (x - 13)$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (x + 3) = 125 x + 125 \cdot - 13$

Этап 4.3

Умножим $125$ на $- 13$ .

$4 (x + 3) = 125 x - 1625$

Этап 5

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $125 x$ из обеих частей уравнения.

$4 (x + 3) - 125 x = - 1625$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 4 \cdot 3 - 125 x = - 1625$

Этап 5.2.2

Умножим $4$ на $3$ .

$4 x + 12 - 125 x = - 1625$

Этап 5.3

Вычтем $125 x$ из $4 x$ .

$- 121 x + 12 = - 1625$

Этап 6

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$- 121 x = - 1625 - 12$

Этап 6.2

Вычтем $12$ из $- 1625$ .

$- 121 x = - 1637$

Этап 7

Разделим каждый член $- 121 x = - 1637$ на $- 121$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $- 121 x = - 1637$ на $- 121$ .

$\frac{- 121 x}{- 121} = \frac{- 1637}{- 121}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $- 121$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 121 x}{- 121} = \frac{- 1637}{- 121}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1637}{- 121}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{1637}{121}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{1637}{121}$

Десятичная форма:

$x = 13.52892561 \dots$

Форма смешанных чисел:

$x = 13 \frac{64}{121}$